Этапы развития логики как науки и основные направления современной символической логики (стр. 7 из 16)
5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании законов идемпотентности).
В результате получится силлогистический многочлен, который будет содержать все простые следствия из данных посылок, и только простые следствия. Они интереснее, чем обычные логические следствия, так как зависят от меньшего числа пара метров (элементарных высказываний).
Покажем это на конкретном примере. Из данных трех посылок, имеющих соответственно, формы (1) q→ 
, (2) p 
q и (3) r, требуется вывести все разные (неэквивалентные между собой) формы простых логических следствий. Для решения задачи выполним следующие операции:
1. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим выражение в КНФ:
(q → ) ^ (p q) ^ r = (
) ^ (p q) ^ rили в другой записи
pq^ r.2. В полученной КНФ к членам 1 и 3 применяем закон выявления, получаем
^ pq ^ r = ^ pq ^ Затем ко второму и четвертому членам снова применяем этот же закон.
^ pq ^ r ^ = ^ pq ^ r^ ^ p3. Произведем операции “поглощения”. Первый член (
) поглощается четвертым ( ), поэтому отбрасываем первый член, а второй член (pq) поглощается пятым членом (p). В результате этого получим ^ pq ^ r^ ^ p =r ^ ^ pВывод: при данных посылках суждения rи р истинны, а суждение q ложно, т. е. если суждениями выражены некоторые события, то событие r и событие р наступят, а событие q не наступит.
Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий и в наши дни.
В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч. С. Пирса и Дж. Пеано.
Американский логик Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и явился основоположником новой науки - семиотики (общей теории знаков). В работах Пирса содержится тенденция к расчленению семиотики на прагматику (анализирует отношение знака к его исследователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками).
Пирс пишет о том, что реальное можно определить как нечто, свойства которого независимы от того, что о них мыслят. Наиболее общим подразделением знаков он считал такие: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.
Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на одной операции, этим предвосхитив результаты М. X. Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной операции, которая вошла в историю логики под именем ее создателя - штрих Шеффера). Единственной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой дизъюнкции.
Пирсу принадлежат работа по логике “Studies in Logic” и другие.
Достижения Джузеппе Пеано (1858-1932), итальянского математика, явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Порецкий и Пирс, к современной форме математической логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитомном “Формуляре математики”'.
Пеано ввел следующие, употребляющиеся и ныне, символы:
а) “
” - знак принадлежности элемента к классу;б) “
” - знак включения одного класса в другой класс;в) “
” - знак объединения классов;г) “
” - знак для обозначения операции пересечения классов.Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического метода явилась его система из пяти аксиом для арифметики натуральных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.
На заключительном этапе своей научной деятельности Пеано приступил к систематическому изложению логики как особой. по его мнению, математической дисциплины.
Далее развитие математической логики осуществлялось по многим направлениям, а также в проблемном плане. Это было обусловлено необходимостью дальнейшего освоения как классической и неклассической логик, так и возникшими трудностями в обосновании математики.
§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики
Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848-1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по математической логике “Исчисление понятий” (“Begriffsschrift”) он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в “Основаниях арифметики” (“Grundlagen der Arithmetik”), книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получила широкую известность. Здесь Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно поставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например, понятие “вершина треугольника” равночисленно понятию “сторона треугольника”, и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия “вершина треугольника”.
Если Лейбниц только наметил программу сведения математики к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, т. е. произвел некоторую математизацию логики'. Символические обозначения, принятые им, очень громоздки, и поэтому мало кто полностью прочитал его “Основные законы арифметики”. Впрочем, и сам Фреге особенно не рассчитывал на это. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики в первой половине XX в. Об этом своем произведении Фреге писал: “В моих “Основаниях арифметики” (1884) я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об “Основных законах арифметики - А. Г.) это должно быть подтверждено тем, что простейшие законы арифметики здесь выводятся только с помощью логических средств”2.
Итак, Фреге полагал, что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подозревал, однако, что построенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел.
В послесловии к “Основным законам арифметики” Фреге писал по этому поводу: “Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ его здания оказывается пошатнувшейся. В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу”'. Противоречием, который обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств (см. с. 226-227 учебника).