При этом нигде не утверждается, что убывающие последовательности отрезков ai для [A B] и ai' для [A' B'] должны быть одинаковы. Напротив, если отрезки [A B] и [A' B'] неравны по длине между собой, их разбиения на бесконечные последовательности убывающих отрезков окажутся различными. В приведенном рассуждении Ахилла отделяет от черепах 1 и 2 разные расстояния. Поэтому мы имеем два различных отрезка [A B1] и [A B] с общей начальной точкой А. Неравные отрезки [A B1] и [A B] порождают различные бесконечные последовательности точек, и недопустимо использовать одну из них вместо другой. Между тем именно эта “незаконная” операция применяется в аргументах о двух черепахам.
Если не смешивать иллюстрации и существо апории, то можно утверждать, что апории Ахилл и Дихотомия симметричны по отношению к друг другу. В самом деле, Дихотомия также водится к следующим трем утверждениям:
1. Каков бы ни был отрезок [A B], движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка [A B].
2. Любой отрезок [A B] можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков [bn+1 bn] ... [b3 b2] [b2 b1] ... [b1 B].
3. Поскольку бесконечная последовательность bi не имеет первой точки, невозможно побывать в каждой из точек этой последовательности.
Таким образом, апория Ахилл основывается на тезисе о невозможности завершить движение из-за необходимости посетить последовательно каждую из точек бесконечного ряда, упорядоченного по типу ω (т. е. по типу порядка на натуральных числах), который не имеет последнего элемента. В свою очередь Дихотомия утверждает невозможность начала движения из-за наличия бесконечного ряда точек, упорядоченных по типу ω* (так упорядочены целые отрицательные числа), который не имеет первого элемента.
Проанализировав более тщательно две приведенные апории, мы обнаружим, что обе они опираются на допущение о непрерывности пространства и времени в смысле их бесконечной делимости. Такое допущение непрерывности отличается от современного, но имело место в древности. Без допущения тезиса о том, что любой пространственный или временной интервал можно разделить на меньшие по длине интервалы, обе апории рушатся. Зенон прекрасно это понимал. Поэтому он приводит аргумент, исходящий из принятия допущения о дискретности пространства и времени, т. е. допущения о существовании элементарных, далее неделимых, длин и времен.
Стадий.Итак, допустим существование неделимых отрезков пространства и интервалов времени. Рассмотрим следующую схему, на которой каждая клетка таблицы представляет неделимый блок пространства. Имеется три ряда объектов А, В и С, занимающих по три блока пространства, причем первый ряд остается неподвижным, а ряды В и С начинают одновременное движение в направлении, указанном стрелками:
| A1 | A2 | A3 | |
| В3 | В2 | В1 | → |
| ← | С1 | С2 | С3 |
Начальное положение
| А1 | А2 | А3 |
| В3 | В2 | В1 |
| С1 | С2 | С3 |
Конечное положение
Ряд С, утверждает Зенон, за неделимым момент времени прошел одно неделимое место неподвижного ряда А (место А1). Однако за то же самое время ряд С прошел два места ряда В (блоки В2 и В3). Согласно Зенону, это противоречиво, т. к. должен был встретиться момент прохождения блока В2, изображенный на следующей схеме:
| В3 | В2 | В1 |
| С1 | С2 | С3 |
Промежуточное положение
Но где в это промежуточное положение находился ряд А ? Для него просто не остается соответствующего места. Остается либо признать, что движения нет, либо согласиться с тем, что ряд А делим не на три, а на большее количество мест. Но в последнем случае мы вновь возвращаемся к допущению о бесконечной делимости пространства и времени, снова попадая в тупик апорий Дихотомия и Ахилл. При любом исходе движение оказывается невозможным.
Основная мысль апорий Зенона Элейского состоит в том, что дискретность, множественность и движение характеризуют лишь чувственную картину мира, но она заведомо недостоверна. Истинная картина мира постигается только мышлением и теоретическим исследованием.
Если не вникать в глубину апорий, можно относиться к ним свысока и удивляться, как это Зенон не додумался до очевидных вещей. Но о Зеноне не перестают спорить, а история науки показывает, что если о чем-то долго спорят, то это, как правило, не зря. Несомненно, размышления над апориями помогли создать математический анализ, сыграли определенную роль в физической революции ХХ века и, вполне возможно, что в физике XXI столетия их значение будет еще более существенным.
III. Парадокс лжеца.
Уже почти две с половиной тысячи лет одной из логических загадок, мучающих людей, пытающихся гармонизировать основания своего мышления, является «парадокс лжеца». Несмотря на то, что в настоящее время известны десятки семантических, логических и математических парадоксов и апорий, «парадокс лжеца» занимает особое место:
- во-первых, он является наиболее доступным из множества парадоксов и, в силу этого, наиболее известным из них.
- во-вторых, он первичен по отношению ко многим другим парадоксам и, следовательно, последние неустранимы, пока не разрешен «парадокс лжеца».
Простейшим вариантом парадокса лжеца является высказывание “Я лгу”. Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.
«Парадокс лжеца» имеет и ряд других похожих друг на друга формулировок. Ниже приведены лишь некоторые из них:
- «Все критяне – лжецы» (тезис, высказанный критянином Эпименидом);
- «Я высказываю сейчас ложное предложение»;
- «Все, что X утверждает в промежуток времени Р – ложь»;
- «Это утверждение ложно»;
- «Это утверждение не принадлежит к классу истинных высказываний”.
Хотя приведенный список далеко не полон, он дает некоторое представление о сути проблемы. Логическая проблема состоит в том, что предположение о ложности приведенных высказываний ведет к их истинности и наоборот.
Древних греков очень занимало, каким образом, казалось бы, вполне осмысленное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным без того, чтобы при этом не возникло противоречия. Философ Хризипп написал шесть трактатов о парадоксе лжеца, ни один из которых не сохранился до нашего времени. Ходит легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.
В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа. Теперь «Лжец» — этот типичный бывший софизм — нередко именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.
Рассмотрим первую формулировку: приписываемое Эпимениду утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду. При таком предположении утверждение "Все критяне лжецы" не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом и, следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но это утверждение не может быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и, следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно.
История логики знает множество попыток и подходов к разрешению данного парадокса. Одна из первых - попытка представления "парадокса лжеца" в качестве софизма. Суть такого представления в том, что в реальной жизни ни один лгун не говорит только ложь. Следовательно, парадокс - софизм, основанный на ложной посылке.
Но такое объяснение приемлемо лишь для первой (ранней) формулировки парадокса, но не "снимает" парадокс в его более точных современных формулировках. Существует несколько решений парадокса лжеца в его современной формулировке. Какое из решений правильное? Все правильны. Как такое может быть? Потому, что парадокс - это рассуждение, ведущее к противоречию. Избавиться от противоречия можно разными способами. Все они сводятся к замене некоторого сомнительного кусочка рассуждений на более правильный. В результате получается рассуждение, аналогичное прежнему, но без видимых противоречий. Кроме того, различные решения приводятся через разные виды логик.
Заменять можно разные кусочки. В каждом случае получатся различные решения, а какое из них предпочесть - дело вкуса. Одному самым сомнительным кажется один кусочек, другому - другой. Иногда самый первый сомнительный кусочек заметен и очевиден.
Пожалуй, самым распространенным вариантом решения парадокса лжеца является разделение языка и метаязыка: