Если объем определяющего понятия шире, чем объем определяемого, говорят об ошибке слишком широкого определения («ромб – плоский четырехугольник»). Если объем определяющего понятия уже объема определяемого, имеет место ошибка слишком узкого определения («ромб – плоский четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны»).
2. Нельзя определять имя через само себя или определять его через такое другое имя, которое, в свою очередь, определяется через него. Это правило запрещает порочный круг.
3. Определение должно быть ясным. Это означает, что в определяющей части могут использоваться только имена, известные и понятные тем, на кого рассчитано определение. Желательно также, чтобы в ней не встречались образы, метафоры, сравнения, т. е. Все то, что не предполагает однозначного и ясного истолкования.
6. Деление имен и его правила.
Деление – это операция распределения на группы тех предметов, которые мыслятся в исходном имени. Получаемые в результате деления группы называются членами деления. Признак, по которому производится деление, именуется основанием деления. В каждом делении имеются, таким образом, делимое понятие, основание деления и члены деления.
Посредством операции деления раскрывается объем того или иного имени, выясняется, из каких подклассов состоит класс, соответствующий делимому имени.
Требования, предъявляемые к делению, достаточно просты.
1. Деление должно вестись только по одному основанию.
Это требование означает, что избранный вначале в качестве основания признак или совокупность признаков не следует в ходе деления подменять другими признаками. Правильно, например, делить климат на холодный, умеренный, жаркий, морской и континентальный будет уже неверным: вначале деление производилось по среднегодовой температуре, а затем – по новому основанию.
2. Деление должно быть соразмерным, или исчерпывающим, т. е. Сумма объемов членов деления должна равняться объему делимого понятия. Это требование предостерегает против пропуска отдельных членов деления.
Ошибочными, неисчерпывающими будут, в частности, деление треугольников на остроугольные и прямоугольные.
3. Члены деления должны взаимно исключать друг друга.
Согласно этому правилу, каждый отдельный предмет должен находиться в объеме только одного видового понятия и не входить в объемы других видовых понятий.
4. Деление должно быть непрерывным.
Это правило требует не делать скачков в делении, переходить от исходного понятия к однопорядковым видам, но не к подвидам одного из таких видов.
Частным случаем деления является дихотомия. Дихотомическое деление опирается на крайний случай варьирования признака, являющегося основанием деления: с одной стороны, выделяются предметы, имеющие этот признак, с другой – не имеющие его. В случае обычного деления люди могут подразделяться, к примеру, на мужчин и женщин, на детей и взрослых и т. п. При дихотомии множество людей разбивается на мужчин и «немужчин», детей и «недетей» и т. п.
Классификация – это многоступенчатое, разветвленное деление.
7. Простые и сложные высказывания. Логические союзы.
Высказывание – грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.
Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.
Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Слова «и», «либо, либо», «если, то» и т. п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.
8. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция: таблицы значений.
Наиболее важные способы построения сложных высказываний.
Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причем, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Будем обозначать высказывания буквами A, B. C,…, отрицание высказывания – символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание A истинно, его отрицание A ложно, его отрицание, ~A, истинно.
| A | ~A |
| ил | ли |
Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности, в которой «и» означает «истинно» и «л» - «ложно».
В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемы таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и» получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна. Высказывание A
| A | B | A&B |
| иилл | илил | иллл |
может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании B. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний. Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена слева. Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:
1) каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;
2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.
Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами диъюнкции. Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смыслах. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе – ложно.
| A | B | AvB | Av`B |
| иилл | илил | ииил | лиил |
Символ v будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться v`. Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны. В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.
9. Импликация и эквивалентность: таблицы значений
Условное высказывание – сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого. Условное высказывание слагается из двух простых высказываний. То, которому предписано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим); высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).
| A | B | A→B |
| иилл | илил | илии |
Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или и пликации.
Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным. Для установления истинности импликации «если A, то B» достаточно, таким образом, выяснить истинностные значения высказываний A и B. Из четырех возможных случаев импликация истинна в следующих трех:
(1) и ее основание, и ее следствие истинны;
(2) основание ложно, а следствие истинно;
(3) и основание, и следствие ложны.
Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится. Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определен этой таблицей и ничего другого импликация не подразумевает. Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того является A истинным или ложными связано оно по смыслу с B или нет. Условное высказывание истнно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет.
С имплткацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».
Эквивалентность – сложное высказывание «A, если и только если B», образованное из высказываний A и B и разлагающееся на две импликации: «если A, то B» и «если B, то A».
| A | B | A↔B |
| иилл | илил | илли |
Термином «эквивалентность» обозначается и связка «... если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «..., если и только если» для этой цели могут использоваться «.. в том и только в том случае, когда...», «... тогда и только тогда, когда...» и т. п.