Нечеткие множества в системах управления (стр. 9 из 11)

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

Терм ЛП	(L-R)-представление	Графическое представление
Средний	А = (а, a, b)_LRa = b>0	a b
Малый	А = (а, ¥, b)_LRa = ¥	a = ¥b
Большой	А = (а, a, ¥)_LRb=¥	ab = ¥
Приблизительно в диапазоне	А = (а₁, а₂, a, ¥)_LRa = b>0	aba₁ a₂
Определенный	А = (а, 0, 0)_LRa = b = 0	a = 0 b = 0
Разнообразный зона полной неопределенности	А = (а, ¥, ¥)_LRa = b = ¥	a = b = ¥

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание <b есть b'>, где b - наименование лингвистической переменной, b' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

Высказывание <b есть mb'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами .

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А₁, А₂, А₃, соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует нечеткое множество CONA = A²; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое множество А₂È

высказыванию <толщина изделия не малая и не большая> А₁Ç

Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R ("много больше,чем") и R ("близко к"), заданных на Х´Х. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества A·R₁ и A·R₂, индуцированные нечеткими отношениями R₁ и R₂.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <a, T_a, X, G_a, M_a> и <b, T_b, Y, G_b, M_b> - лингвистические переменные, и высказываниям <a есть a'>, <b есть b '> соответствуют нечеткие множества А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных a и b, можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (a, b), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на X´Y.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на X´Y нечеткие множества

, называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности:

(x,y) = m_A(x) при любом y,

(x,y) = m_B(y) при любом x,

где (x,y) X´Y.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

<a есть a' и b есть b'> и

<a есть a' или b есть b'>,

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<a есть a' и b есть b'>Þ<(a, b) есть (a'Çb')>.

Здесь Þ - знак подстановки, a'Çb' - значение лингвистической переменной (a, b), соответствующее исходному высказыванию <a есть a' и b есть b'>, которому на X´Y ставится в соответствие нечеткое множество

c функцией принадлежности

(x,y) =

(x,y)L

(x,y) = m_A(x)Lm_B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<a есть a' или b есть b'>Þ<(a,b) есть (a'Èb')>, где значению (a'Èb') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое множество

, с функцией принадлежности

(x,y) =

(x,y)V

(x,y) = m_A(x)Vm_B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <a, T₁, X, G₁,M₁> и <a, T₂, Y, G₂, M₂>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания <ночь теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная> - правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<a_i, T_i, X_i, G_i, M_i>}, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное из высказываний <a есть a'> с использованием модификаторов "очень", "не", "более или менее" и др. и связок "и", "или", можно привести к виду <a есть a'>, где a - составная лингвистическая переменная (a₁,a₂,..,a_n ), a' - ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

<если a есть a', то b есть b'>Þ <(a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´Y.

Функция принадлежности m_R(x,y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации "если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на X´Y, соответствующего данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания "если А, то В":

R_m = (A´B)È(

´Y)

m_Rm(x,y) = (m_A(x)Lm_B(y)) V (1 - m_A(x));

R_a = (

´Y)Å(X´B)

m_Ra(x,y) = 1 L (1-m_A(x) + m_B(y));

R_c = A´B

m_Rc(x,y) = m_A(x)Lm_B(y);

R_s = A´Y

X´B

m_Rs(x,y) =

;

R_g = A´Y

X´B

m_Rg(x,y) =

;

R_sg = ( A´Y

X´B ) Ç (

)