Нечеткие множества в системах управления (стр. 4 из 11)
"xÎEmA(x1, x1,..., xn) = w1mA1(x) + w2mA2(x) + ... + wnmAi(x).
Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ..., An - нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ..., En соответственно. Декартово произведение A = A1´A2´ ...´An является нечетким подмножеством множества E = E1´E2´...´En с функцией принадлежности:
mA(x1, x1, ..., xn) = min{ mA1(x1), mA2(x2) , ... , mAi(xn) }.
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех xÎE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
Ф(A, K) =
mA (x)K(х),где mA(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.
Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) = 1/1+0,4/2;
K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) = 1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.
Тогда
Ф(A,K) = mA(1) K(1) ÈmA(2)K(2) ÈmA(3)K(3)ÈmA(4)K(4) =
= 0,8(1/1+0,4/2) È 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =
= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.
Четкое множество a-уровня (или уровня a). Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aa универсального множества E, определяемое в виде:
Aa ={x/mA(x)³a}, где a£1.
Пример:A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 ,
тогда A0.3 = {x3,x4},
A0.7 = {x4}.
Достаточно очевидное свойство: если a1³a2 , то Aa1£Aa2 .
Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:
A =
aA a, где aAa - произведение числа a на множество A, и a "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.Пример: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:
A = 0,1(1,0,1,1) È 0,7(0,0,1,1,) È 1(0,0,0,1)=
= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)È (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)È
È(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .
Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций a1£a2£a3£ ...£an, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:
A =
aiAai,т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aa1, Aa2, ..., Aai}, где Aa1³Aa2³ , ..., ³Aai.
Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости
Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния r(A, B) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:
r(A, B) ³ 0 - неотрицательность;
r(A, B) = r(B, A) - симметричность;
r(A, B) < r(A, C) + r(C, B).
К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A) = 0.
Определим следующие расстояния по формулам:
Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):
r(A, B) =
½mA(xi) - mB(xi)½ .Очевидно, что r(A, B)Î[0, n].
Евклидово или квадратичное расстояние:
e(A, B) =
, e(A, B)Î[0, 
].Относительное расстояние Хемминга:
r(A, B) =
, r(A, B)Î[0,1].Относительное евклидово расстояние:
e(A, B)=
, e(A, B)Î[0,1].Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:
если E счетное, то
r(A, B) =
½mA(xi) - mB(xi)½ ,e(A, B) =
;если E = R (числовая ось), то
r(A, B) =
,e(A, B) =
.Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.
Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.
Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.
0<mA(x)<1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R", и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. mA(x) =
(x) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо mA(x) = 1 и (x) = 0, либо mA(x) = 0 и (x) = 1.В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:
d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - обычное множество;
d(A) максимально тогда и только тогда, когда mA(x) = 0.5 для всех xÎE.
d(A)d(B), если A является заострением B, т.е.
mA(x)£mB(x) при mB(x) < 0,5;
mA(x)³mB(x) при mB(x) > 0,5;
mA(x)- любое при mB(x) = 0,5.
d(A) = d(
) - симметричность по отношению к 0,5.d(AÈB)+d(AÇB) = d(A)+d(B).
Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.
Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.
Обычное множество, ближайшее к нечеткому
Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество AÌE является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является подмножеством с характеристической функцией:
.Обычно принимают mA(xi) = 0, если mA(xi) = 0,5.
Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.
Линейный индекс нечеткости:
Здесь r(A, A) - линейное (хеммингово) расстояние, множитель -
обеспечивает выполнение условия 0<d(A)<1.Квадратичный индекс нечеткости
, 0<d(A)<1.Здесь e(A, A) - квадратичное (евклидово) расстояние.
Замечания.
1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:
- линейный индекс, 
- квадратичный индекс.2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:
АÇВ=АÇВ,