Пример 3. Число 101001012 перевести в 10-ую систему счисления.
101001012=1•20+1•22+1•25+1•27=16510
Упражнения
1.Перевести числа из 10-ой с/с в 2-ую систему счисления:
1/ 165 2/ 198 3/ 541 4/ 849 5/ 127
6/ 195 7/ 289 8/ 513 9/ 600 10/ 720
2.Перевести числа из 2-ой в 10-ую систему счисления:
1/ 110101 2/ 100111 3/ 1101100 4/ 1011101
5/ 11011101 6/ 10010100 7/ 111001010 8/ 110001011
Арифметические действия над целыми числами в 2-ой системе счисления :
| 1.Операция сложения выполняется с использованием таблицы двоичного сложения в одном разряде:Пример 4. 10012 11012 111112 10102 10112 12100112 110002 10000022.Операция вычитания выполняется с использованием таблицы вычитания, в которой 1 обозначается заем в старшем разряде.Пример 5. 1011100112 1101011012 1000110112 1010111112 0010110002 00100111023.Операция умножения выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной с/с с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.Пример 6.х 110012х 1012 11012 112 11001 101 11001 101 11001 1111210100010124.Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в 10-ой с/с.Пример 7. 1010001012 11012 1000110002 11112 1101 11012 1111 100102 1110 0010100 1101 1111 1101 10102 -остаток 1101 0 | + 0 1 0 0 1 1 1 10 - 0 1 0 0 11 1 1 0 х 0 1 0 0 0 1 0 1 |
Упражнения.
1.Произвести 1/ 100100112 2/ 10111012 3/ 101100112
сложение в 2 1011011 11101101 1010101
системе счисления
2.Произвести 1/ 1000010002 2/ 1101011102 3/ 111011102
вычитание в 2 10110011 10111111 1011011
системе счисления
3.Произвести 1/ 1000012 2/ 1001012 3/ 1111012
умножение в 2 111111 111011 111101
системе счисления
4.Произвести 1/ 111010001001 : 1111012
деление в 2 2/ 100011011100 : 1101102
системе счисления 3/ 10000001111 : 1111112
Восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.
При наладке аппаратных средств ЭBM или создании новой программы часто возникает необходимость заглянуть внутрь памяти ЭВМ, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последователями нулей и единиц - двоичными числами. Эти последовательности очень неудобны для восприятия. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три или четыре разряда. Из трех нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырех - шестнадцать. Для кодирования 3 бит требуется 8 цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы счисления, т.е. получили алфавит восьмеричной системы счисления. (см.табл.1)
Таблица 1.
| Восьмеричная запись | Двоичная запись | Восьмеричная запись | Двоичная запись |
| 0 1 2 3 | 006 001 010 011 | 4 5 6 7 | 100 101 110 111 |
Трехразрядное число, соответствующее цифре восьмеричного числа, называется двоичной триадой.
В связи с этим прост переход от двоичного представления числа к восьмеричному: двоичную запись числа справа налево разделяют на триады (в случае необходимости триаду можно слева дополнить нулями) и заменяют каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
Пример 8.
11110102=0011110102=1728
Обратный переход осуществляется также просто: каждую цифру восьмеричной записи заменяют ее двоичным представлением.
Пример 9.
5138=1010010112, 3178=0110011112
В связи с этим можно рассматривать два способа перевода чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую систему счисления: 1 способ - воспользоваться формулой * разложить число по степеням 8 и 2 - перевести число сначала в двоичную систему счисления, а затем в 8-ую систему счисления.
Пример10. Перевести число 12510 в 8-ую с/с.
1 способ: 12510=5•80+7•81+1•82=1758
2 способ: 12510= 20+22+23+24+25•26=11111012=1758
Перевод из 8-ой системы счисления в 10-ую систему счисления производится аналогично переводу чисел из 2 системы счисления в 10-ую систему счисления по формуле *.
Пример 11. Перевести число 2738 в 10-ую с/с
2738=3•80+7•81+2•82=18710
Для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используется 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита (см. табл. 2)
Таблица 2.
| Шестнадцатеричная запись | Двоичная запись | Шестнадцатеричная запись | Двоичная запись |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 | 8 9 А В С Д Е F | 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Четырехзначное двоичное число, соответствующее цифре шестнадцатеричного числа, называется двоичной тетрадой.
Переход от шестнадцатеричной системы к двоичной (и обратно) так же прост, как от восьмеричной к двоичной, только заменяются тетрады двоичных цифр на шестнадцатеричную запись.
Пример 12. Число В316 перевести в 2-ую систему счисления
В316=101100112
Пример 13. Число 11110011102 перевести в 16-ую систему счисления
11110011102=3СЕ16
Таким образом, чтобы перевести число из 10-ой системы счисления в 16-ую можно воспользоваться двумя способами: по формуле * , (размножить число по степеням числа 16) или произвести последовательно перевод в 2-ую систему счисления, а затем в 16-ую систему счисления.
Пример 14. Число 36510 перевести в 16-ую с/с
1 способ 36510=13•160+6•161+1•162=16А16
2 способ 36510=1•20+1•22+1•23+1•25+1•26+1•28=1011011012=16А16
Упражнения
1.Переведите числа из 2-ой с/с в 8-ую ,16-ую с/с
1/ 1001011102 2/ 1000001112 3/ 1110010112
4/ 10001110112 5/ 10110010112 6/ 1100110010112
2.Переведите числа из 10-ой с/с в 8-ую, 16-ую с/с
1/6910 2/ 7310 3/ 11310 4/ 20310 5/ 35110 6/ 64110
3.Переведите числа из 8-ой с/с в 10-ую с/с
1/ 358 2/ 658 3/ 2158 4/ 3278 5/ 5328 6/ 7518
4.Переведите числа из 16-ой с/с в 10-ую с/с
1/ D816 2/ 1AE16 3/ E5716 4/ 8E516 5/ FAD16 6/ADC16
Сложение и вычитание в 8-ой с/с.
При выполнении сложения и вычитания в 8-ой с/с необходимо соблюдать следующие правила:
1) в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита;
2) десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 8.
В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;
3)если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми единиц.
Пример 15. 7708 7508
236 236
12268 5128
Сложение и вычитание в 16-ой с/с.
При выполнении этих действий в 16-ой с/с необходимо соблюдать следующие правила:
1)при записи результатов сложения и вычитания надо использовать цифры шестнадцатеричного алфавита: цифры, обозначающие числа от 10 до 15 записываются латинскими буквами, поэтому , если результат является числом из этого промежутка, его надо записывать соответствующей латинской буквой;
2)десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т.е. переполнение разряда поступает, если результат сложения больше или равен 16, и в этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;
3)если приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший в виде шестнадцати единиц.
Примеры 16. В0916 В0916
TFA 7FA
1A0316 30F16
Упражнения
1.Выполните сложение 8-ых чисел
1) 7158 2) 5248 3) 7128 4) 3218 5) 57318 6) 63518
373 57 763 765 1376 737
2.Выполните вычитание 8-ых чисел
1) 1378 2) 4368 3) 7058 4) 5388 5) 72138 6) 71358
72 137 76 57 537 756
3.Произвести сложение 16-ых чисел
1) А1316 2) FOB16 3) 2EA16 4) ABC16 5) A2B16 6) E2D816
16F 1DA FCE C7C 7F2 2CA3
4.Произвести вычитание 16-ых чисел
1) А1716 2) DFA16 3) FO516 4) DE516 5) D3C116 6) F1C516
1FС 1AE AD AF D1F DEB
Как было отмечено выше, компьютер способен распознавать только значения бита: 0 или 1. Однако чаще он работает с байтами ( 1 байт= 8 бит). Вся работа компьютера - это управление потоками байтов, которые устремляются в машину с клавиатуры или дисков, преобразовываются по командам программ, временно заполняются или записываются на постоянное хранение, а также появляются на экране дисплея или бумаге принтера в виде знакомых букв, цифр, служебных знаков.
Большие наборы байтов удобнее измерять более крупными единицами: