Спектральный анализ и синтез сигнала (стр. 2 из 3)
б) спектральное распределение мощности сигнала.
На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра – об их амплитудах и фазах – спектральная характеристика случайного процесса не даёт.
Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами – шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.
2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов
Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.
Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:
.Для определения
умножим левую и правую части ряда на 
и возьмем интеграл от левой и правой части: 
, для интервала [a;b] в котором выполняются условия ортогональности.Видно, что
.Получили выражение для обобщенного ряда Фурье: 
.Выделим конкретный вид функции
, для разложения в ряд сигнала 
. В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций: 
Для определения ряда вычислим значение
: 
. 
, так как 
.Таким образом, получим:
, где 
.Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.
Полученное выражение можно представить в виде:
где 
; 
.Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.
Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:
или
, где 
Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне
.Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме – дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами
2.2 Спектральные характеристики непериодического сигнала
Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом
. Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для 
: 
.Анализ полученного выражения показывает, что при
амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности: 
.Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:
.Окончательно получим:
.Здесь
- спектральная плотность, а само выражение – прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье: 
.Свойства преобразования Фурье
Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.
1) Свойство линейности преобразования Фурье:
. 
, т.е. 
.Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.
2) Спектр сигнала сдвинутого во времени:
. 
. 
.Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину
3) Изменение масштаба времени:
. 
т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).4) Спектр смещения:
. 
.5) Спектр производной от сигнала:
.Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье:
. 
.Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на
, то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на 
6) Спектр интеграла сигнала:
.Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье:
. 
.Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на
.7) Спектр произведения двух сигналов:
. 
. 
.Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент
.