В соответствии с критерием Михайлова, рассматриваемая система является устойчивой.
4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет по виду частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы, т.е. он применим для замкнутых систем.
Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых систем
(6)
где D(p) – характеристический полином замкнутой системы;
A(p) – характеристический полином разомкнутой системы.
При этом степени полиномов A(p) и D(p) одинаковы исходя из условия физической реализуемости системы.
В соответствии со следствием из принципа аргумента
(7)Рассмотрим разные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т.е. m = 0), для того чтобы и замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:
(8)Графически это обозначает, что годограф вектора W (jw) не охватывает начала координат, а вектора K (jw) – точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 6. Точка с координатами (-1, j0) называется критической.
Рис. 6.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, должно выполняться условие
(9)Графически это обозначает, что годограф вектора K (jw) охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2 – раз.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой, неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает точку с координатами (–1, j0) m/2-раз.
Иногда по графику трудно определить охватывает ли АФХ критическую точку. В этом случае можно использовать правило переходов. Переходами называются точки пересечения АФХ отрезка оси (-¥.. – 1). Знак перехода определяется по следующему правилу: если фаза убывает – переход отрицательный.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автома-тического управления устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов равна m/2, где m – количество корней в правой полуплоскости разомкнутой неустойчивой системы, т.е.
(10)
Пример 8. Для заданной системы (рис. 7) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления.
Определить устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.
Решение:
1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
2. Строим АФХ разомкнутой системы
При T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1 АФХ разомкнутой системы имеет вид
Расчетные данные приведены в таблице 2, а график АФХ на рис. 8.
Таблица 2
0| 0 |
Как видно из рисунка (8) и таблицы 2, АФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку, следовательно, замкнутая система, при заданной структуре и параметрах, устойчива.
Определим критический коэффициент усиления из условия:
5. Определение областей устойчивости
Устойчивость систем зависит от структуры и параметров системы. При расчете систем автоматического управления возникает задача опреде-ления диапазона изменения варьируемых параметров системы, при кото-рых она устойчива.
Область устойчивости – это совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива.
Коэффициенты характеристического уравнения являются функциями от параметров системы, и они определяют расположение корней в комплексной плоскости, при изменении параметров корни перемещаются в комплексной плоскости и система может стать не устойчивой.
Для определения областей устойчивости можно использовать различные методы, наиболее часто используют метод D – разбиения. D-разбиение может быть выполнено по одному и более параметрам.
Рассмотрим алгоритм определения областей устойчивости с помощью метода D – разбиения по одному параметру на конкретных примерах.
Пример 9. Определить область возможных значений параметра «к», при которых заданная система (рис. 9) устойчива
Порядок определения областей устойчивости
1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
2. Определяем характеристический полином
3. Разрешим уравнение относительно параметра – к
4. Строим кривую D – разбиения (см. таблицу 3 и рис. 10)
Таблица 3
Так как параметр является вещественной положительной величиной, то областью устойчивости являются значения параметра – к, расположенные на вещественной положительной оси, т.е.] 0, 2 [, что может быть провере-но по критерию Гурвица.
Литература
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1986.
2. Брюханов В.Н. и др. Теория автоматического управления. – М: Высшая школа, 2000.
3. Егупов Н.Д., Пупков К.А., Баркин А.И. Синтез регуляторов систем автоматического управления. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
4. Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы. ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 168 с.
5. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990. – 416 с.
6. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А. Бесекерского. – M.: Наука, 1978.
7. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 198 – 712 с.
(рис. 5) по данным, приведенным в таблице 1. 
