8. Последовательные процедуры различения сложных гипотез с использованием комбинированной решающей статистики.
8.1. Общие положения.
Рассмотренные в предыдущем разделе процедуры с отбором максимума и одновременным решением представляют основной интерес с точки зрения относительной простоты необходимых для их реализации математических операций. Наряду с ними в литературе исследовались и процедуры, использующие решапющую статистику безусловного отношения правдоподобия, хотя их реализация до недавнего времени представляла значительные вычислительные сложности. Примером может служить процедура Маркуса-Сверлинга (по именам американских учёных, впервые её исследовавших применительно к задачам радиолокационного обнаружения). Эта процедура базируется на схеме обнаружения – оценивания изображённой на рис.4.1, т.е. использует для обнаружения единственного сигнала (цели), появление которого в любом канале равновероятно, обобщённое отношение правдоподобия

. При выходе статистики

за верхний порог

в качестве оценки положения обнаруженной цели принимается индекс канала

, в котором накоплено максимальное значение отношения правдоподобия

, выявляемое путём ранжировки значений

(см. раздел 4).

Приведённые на рис.8.1 зависимости средней длительности процедуры Маркуса-Сверлинга от числа каналов

подтверждают, что абсолютная величина выигрыша, достигаемого относительно процедуры Неймана – Пирсона, практически не зависит от числа каналов

(зависимости

для обеих процедур идут параллельно), относительная величина выигрыша при

составляет 2-3 раза. (Можно показать, что при оптимальном выборе порогов процедуры с отбором максимума и с одновременным решением по эффективности близки к процедуре Маркуса – Сверлинга).
Основной недостаток процедур, полностью базирующихся на статистике безусловного отношения правдоподобия, состоит в том, что в них отсутствует механизм разрешения и оценки параметров сигналов, число которых априори известно.
Указанный недостаток преодолевается при переходе к последовательным решающим правилам, построенным по принципу комбинированной решающей статистики. Основная идея этого принципа, впервые предложенного в МВТУ им. Н.Э.Баумана, состоит в том, что при последовательном анализе, благодаря наличию двух независимых решающих порогов, имеется возможность использовать для вынесения решений в пользу

и

две
различных статистики выборочных значений. Структура каждой из этих статистик, именуемых в дальнейшем соответственно “статистикой обнаружения” и “статистикой необнаружения”, выбирается исходя из конкретных условий решаемой задачи. Например, эти статистики могут представлять собой приближения к безусловному отношению правдоподобия соответственно в области

и в области

. В некоторых случаях может оказаться целесообразным использовать “статистику необнаружения”, рассчитанную при некотором фиксированном значении неизвестного параметра, т.е. не зависящую от его оценки и т.п. Ниже приводятсяпримеры последовательных процедур, построенных по принципу комбинированной решающей статистики.
8.2 Обнаружение априори неизвестного числа сигналов.
Будем, как и в предыдущем разделе рассматривать задачу проверки простой гипотезы

об отсутствии сигналов в исследуемой области пространства параметров против сложной альтернативы

о наличии

сигналов, при этом решение в пользу

должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из них.
Предположим вначале, что максимально возможное число сигналов существенно меньше общего числа элементов разрешения

. Тогда для решения поставленной задачи может применяться процедура с комбинированной статистикой, предусматривающая, что проверка гипотезы

в каждом канале производится путем сравнения его парциальной статистики

с решающим порогом

. При пересечении порога

гипотеза

в данном канале считается принятой независимо от состояния других каналов, т.е. для проверки

используется последовательное правило с независимыми решениями. Гипотеза

об отсутствии сигналов (хотя бы одного) проверяется на основании сравнения с вальдовским нижним порогом

статистики безусловного отношения правдоподобия,
вычисленнойдлятехканалов,
гденебылпревышенверхнийпорог:

. Здесь

множество индексов каналов, в которых на

м шаге

число таких каналов,

символ
непринадлежности индекса

к множеству

.
Рассмотренное правило может быть записано в виде

(8.1)
Укрупненная структурная схема устройства, реализующего процедуру (8.1) представлена на рис.8.2.

Очевидно, что при отсутствии сигналов во всех каналах процедура с комбинированной статистикой (8.1) с вероятностью

совпадает с процедурой Маркуса-Сверлинга, соответственно, совпадают и их средние длительности. Средняя длительность принятия решения в пользу гипотезы

при малом

числе сигналов также близка к соответствующей длительности процедуры Маркуса-Сверлинга. При большом

числе сигналов начинает сказываться эффект затяжки процедуры, присущий правилу с независимыми решениями (см. раздел).
Для того, чтобы исключить указанный эффект, необходимо оценивать неизвестное число целей
впроцессепринятиярешения, а не после его вынесения. Оптимальная процедура такого рода должна предусматривать расчет отношений правдоподобия, соответствующих всем возможным расположениям

целей в

каналах. Число возможных размещений примерно пропорционально

, поэтому реализовать такую процедуру при

сложно. В качестве приближения к оптимальной может рассматриваться следующая процедура с комбинированной статистикой.
Примем за оценку числа и положения сигналов соответственно количество и номера индексов тех каналов, где парциальная статистика

превысила некоторый
промежуточныйпорог 
(можно показать, что оптимальная величина

). Значения

используются для формирования “статистики обнаружения”, имеющей в данном случае вид: