Структура оптимальных устройств обнаружения (стр. 2 из 2)

В более общем случае это свойство отношения правдоподобия может нарушаться, однако и в этом случае квазиоптимальные алгоритмы часто используют статистику отношения правдоподобия.

Можно также показать, что в случае различения простых гипотез полученная структура обнаружителя – “вычислитель отношения правдоподобия + постоянный порог” - является оптимальной не только весового критерия, но и для других, рассмотренных нами: Неймана-Пирсона, максимума апостериорной вероятности, максимального правдоподобия, минимаксного. Различие этих критериев выражается только в величине порога

.

Очевидно, что для рассмотренной структуры решающего правила его оптимальность не нарушится, если отношение правдоподобия заменить любой монотонной однозначной функцией от него (при условии соответствующего пересчета значения решающего порога). Часто в качестве такой функции используют логарифм отношения правдоподобия

. Переход к этой статистике удобен при независимых выборках, когда функции правдоподобия факторизуется. При этом , соответственно , т.е. при вычислении решающей статистики операция умножения заменяется существенно более простой операцией суммирования.

Самостоятельную роль в теории принятия статистических решений играет математическое ожидание логарифма отношения правдоподобия

(информация Кульбака-Леблера). Величина может служить количественной мерой статистического “расстояния” между различаемыми распределениями. Смысл этой величины достаточно нагляден: чем больше площадь перекрытия одномерных функций правдоподобия и , тем ближе к нулю (в среднем) логарифм отношения правдоподобия и наоборот, чем меньше площадь перекрытия кривых , тем большую модуль информация Кульбака-Леблера. Величина может интерпретироваться как среднее приращение статистики на один элемент выборки (шаг наблюдения) в процессе ее накопления, поэтому средний объем выборки, необходимый для вынесения решения с заданными вероятностями ошибок a и b, обратно пропорционален этой величине (подробнее см. следующие разделы).

Необходимо подчеркнуть. Что операция расчета логарифма отношения правдоподобия может реализовываться с помощью устройств согласованной фильтрации (известно, что выходной эффект фильтра, согласованного с наблюдаемой выборкой, пропорционален логарифму отношения правдоподобия этой выборки). На практике оптимальная обработка выборки обычно разделяется на два этапа: согласованную фильтрацию одиночногосигнала и расчет отношения правдоподобия для последовательностиотсчетов, наблюдаемых на выходе согласованного фильтра. Поэтому мы под формированием решающей статистики будем понимать расчет отношения правдоподобия (или его логарифма) для выборки, наблюдаемой навыходефильтра (коррелятора) согласованного с одиночным сигналом.

2.3. Расчет отношения правдоподобия для простых гипотез.

Проведем расчет отношения правдоподобия при простых гипотезах, когда соответствующие функции правдоподобия

; не содержат неизвестных параметров. Рассмотрим случай обнаружения сигнала с известной амплитудой и начальной фазой . (Для радиолокации этот случай является идеализированным, т.к. соответствует обнаружению цели с известной ЭПР, находящейся на известной дальности и обладающей известной радиальной скоростью. Однако такая модель сигнала наиболее наглядна, а также служит исходной для других, более сложных моделей, рассматриваемых ниже.)

В качестве помехи, присутствующей на выходе оптимального приемника будем рассматривать узкополосный гауссовский шум, среднеквадратическое отклонение которого s также считается известным. Для удобства будем рассматривать амплитуды принятого и расчетного сигналов, нормированные относительно с.к.о. шума:

; .

Известно, что оптимальный фильтр такого сигнала представляет собой коррелятор, на опорный вход которого подается полная (с точностью до начальной фазы

) копия ожидаемого сигнала. Напряжение на выходе коррелятора описывается совокупностью отсчетов его огибающей и фазы относительно опорного гармонического колебания, синфазного с сигналом.

Соответствующие гипотезам

и совместные плотности распределения отсчетов огибающей и фазы для выборки, содержащей пар отсчетов, можно записать в виде:

(2.1)

(2.2).

Соответственно, отношение правдоподобия и его логарифм

, .

Последнее выражение определяет функциональное преобразование, которому должны подвергаться отсчеты амплитуды и фазы на выходе согласованного фильтра при расчете логарифма отношения правдоподобия выборки (

).

На практике для удобства в качестве выходного эффекта оптимального фильтра обычно рассматривают напряжение на выходе амплитудно-фазовогодетектора

.

Очевидно, что в этом случае

. (3.3)

Рассчитаем математическое ожидание статистики (2.3), т.е. ее среднее приращение (информацию Кульбака-Леблера), приходящееся на один отсчет

.

Используя известную формулу плотности вероятности произведения двух случайных величин, нетрудно убедиться, что при наличии сигнала величина

имеет нормальное распределение:

(2.4)

мат. ожидание которого

, а дисперсия . При нулевой гипотезе ( ) мат.ожидание , дисперсия не меняется. Поскольку преобразование (2.3) линейно относительно можно утверждать, что распределение решающей статистики также нормально с параметрами:

; ; (2.5)

Таким образом, для полностью известного сигнала абсолютная величина информации Кульбака-Леблера при гипотезе и альтернативе одинакова и равна квадрату эффективного значения

.