7. Последовательные правила различения
сложных гипотез.
7.1. Общие положения.
Как уже упоминалось, одно из условий, при которых доказана теорема Вальда-Вольфовитца об оптимальности вальдовской процедуры, состоит в том, что различаемые гипотезы являются простыми, т.е. выборочные распределения, соответствующие гипотезам

и

полностью известны. Для представляющего основной практический интерес случая различения сложных гипотез общие принципы построения оптимальных последовательных процедур остаются теми же, что и при фиксированном объеме выборки. Однако необходимо учитывать ряд особенностей, порождаемых случайным объемом выборки последовательной процедуры. Проиллюстрируем сказанное двумя наглядными примерами.
7.2 Сигнал с неизвестным энергетическим параметром.
До сих пор мы предполагали, что если справедлива гипотеза

, т.е. сигнал присутствует, то его амплитуда

совпадает с расчетным значением

, которому соответствует распределение

. На практике амплитуда сигнала может отличаться от расчетной (быть как меньше, так и больше последней). В терминах теории статистических решений эта ситуация означает, что
простой гипотезе

противопоставляется
односторонняя альтернатива:

.
Естественный подход к задаче различения таких гипотез в классе правил с фиксированным объемом выборки состоит в том, что обнаружитель рассчитывается на некоторое минимальное значение расчетного сигнала

, для которого при заданном объеме выборки

вероятность пропуска

не превышает допустимой. Вероятность обнаружения сигналов с параметром

, отличающимся от расчетного, определяется характеристикой обнаружения

(см. раздел 5).
Аналогичный подход возможен и при последовательном анализе; характеристика обнаружения такой процедуры приведена на рис.7.1, там же изображены зависимости математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры от отношения

. Отличительной особенностью этих зависимостей является характерный максимум, наблюдаемый при некотором

.
Описанный эффект нарастания математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры часто называют “резонансомдлительности”. В случае симметричных порогов резонанс длительности наступает при равенстве нулю среднего приращения решающей статистики

, когда решающая статистика совершает случайные блуждания между порогами, не имея регулярного “сноса” ни к одному из них. При несимметричных порогах резонанс наступает при наличии некоторого “сноса” в сторону более удаленного порога. Необходимо подчеркнуть, что и в точке резонанса длительность последовательной процедуры остается
конечной, (ее мат. ожидание в этом случае определяется не формулой (7.4), а зависит от дисперсии решающей статистики). Следует также отметить, что в большинстве случаев последовательное решающее правило при всех значениях

требует среднего объема выборки, не превышающего объема выборки правила Неймана-Пирсона, обеспечивающего ту же вероятность правильного обнаружения

.
Тем не менее, с точки зрения практики эффект резонанса длительности последовательной процедуры, связанный с неоптимальностью вальдовского решающего правила при всех значениях параметра

, не совпадающих с расчетными значениями

и

, нежелателен. Ниже будут рассмотрены методы уменьшения этого эффекта.
7.3. Многоканальная последовательная процедура с независимыми решениями.
Пусть в некоторой области пространства параметров решается задача проверки простой гипотезы

об отсутствии в ней сигналов против сложной альтернативы

о наличии

сигналов, при этом решение в пользу

должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из них, т.е. система должна обладать
разрешающейспособностью по этим параметрам. Из двух возможных вариантов построения схемы совместного обнаружения -оценивания – многоканальной и следящей (самонастраивающейся) рассмотрим только первый вариант. (Следящие схемы, обеспечивающие обнаружение и разрешение нескольких одновременно наблюдаемых сигналов оказываются весьма сложными ). Типичным примером такой ситуации является обнаружение в РЛС с разрешением по дальности или (

) доплеровской скорости. Проверка гипотез о наличии или отсутствии цели при этом проводится
параллельно во всех элементах разрешения (каналах), принадлежащих одному угловому направлению и наблюдение должно продолжаться до тех пор, пока не будет принято решение относительно каждого из них. За оценки неизвестных параметров в первом приближении могут быть приняты номера каналов

в которых принято решение о наличии целей.
В рамках правил с фиксированным объемом выборки для решения поставленной задачи вполне обоснованно применяется так называемое правилоснезависимымирешениями. Согласно этому правилу, решение в каждом канале принимается на основании сравнения накопленного в нем за

шагов парциального отношения правдоподобия

(или его логарифма

) с решающим порогом

; при

в соответствующем канале принимается гипотеза

, в противном случае -

. Как было показано (см. раздел 4;5) вероятность ложной тревоги на выходе такой системы

. Для того, чтобы поддерживать

на фиксированном уровне, при увеличении числа каналов необходимо обратно пропорционально

уменьшать величину

, что эквивалентно увеличению решающего порога

примерно пропорционально

.Одновременно, для поддержания постоянства вероятности пропуска

также пропорционально

должен увеличиваться объем решающей выборки

, что совпадает с размером неизбежной “платы” за априорную неопределенность, присущей оптимальным правилам (см. раздел 4). Таким образом, при
фиксированном объеме выборки правило с независимыми решениями оказывается достаточно близким к оптимальному.
Предположим теперь, что момент завершения процедуры в каждом канале не фиксируется заранее, а определяется вальдовским последовательным правилом (6.1). Очевидно, что необходимость увеличения верхнего решающего порога последовательной процедуры

для поддержания фиксированной частоты ложных тревог на выходе многоканального обнаружителя в данном случае сохраняется; соответственно (примерно пропорционально

, см. формулу (6.4)) возрастает длительность обнаружения

. Однако более существенным в данном случае оказывается другой эффект, непосредственно связанный со случайным характером решающей выборки. Рассмотрим его подробнее.