Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 2 из 11)

Вероятность события P(A) связана с частотой следующим образом:

(1.2)

или

. (1.3)

Если событие A может наступить лишь при условии, что наступит одно из событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу событий (обязательно не совместных), и называемых гипотезами, то P(A) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события A при этой гипотезе. Формула полной вероятности имеет вид:

, (1.4)

где P(H_i) – вероятность i-ой гипотезы.

Формула Байеса (теорема гипотез). Пусть имеется полная группа несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно P(H₁), P(H₂), ..., P(H_n). Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события A. Тогда вероятность гипотезы H_j в связи с появлением этого события следует пересчитать по формуле

. (1.5)

Случайная величина – такая величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем заранее не известно, какое.

Таблица 1.2

Типы случайных величин

Случайные величины
Непрерывные	Дискретные	Смешанного типа
Могут попасть в любую точку числовой оси	Значения величины разделены интервалами	Значения величины не всегда разделены интервалами и не равновероятны
Пример: расстояние от орудия до точки падения снаряда	Пример: Бросание игральной кости	Пример: стрельба по площадной цели

1.3. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин

Для расчёта дискретной случайной величины необходимо иметь:

1) все возможные значения, которые она может принимать,

2) вероятность появления каждого из них.

Одной из простых характеристик определяющую случайную величину является среднее значение или математическое ожидание случайной величины.

. (1.6)

Основные свойства математического ожидания случайной величины следующие:

1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин:

; (1.7)

2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равно произведению средних значений этих величин:

. (1.8)

Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обобщения среднего значения введено понятие момента порядка m случайной величины x.

(1.9)

Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Момент второго порядка – это средний квадрат случайной величины.

. (1.10)

Часто используют так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины:

. (1.11)

Иногда рассматриваются центрированное значение случайной величины

, где – среднее значение. Тогда можно ввести понятие центрального момента m-го порядка.

. (1.12)

Из формулы следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.

Если x – случайная величина, а

– среднее значение этой величины, то величина есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина x.

Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т.е.

. (1.13)

Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка

. (1.14)

Дисперсия может быть только положительным числом:

.

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины:

. (1.15)

Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений.

1. При сложении независимых случайных величин

(1.16)

дисперсии складываются:

. (1.17)

Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин

. (1.18)

Эта формула часто применяется в вычислительной технике и автоматики для вычисления среднего квадрата ошибки.

2. Пусть имеется n случайных величин

с одинаковыми средними значениями

и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднеарифметическое

(1.19)

тоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением

, но среднеквадратичное отклонение его будет в раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин):

(1.20)

Например, если производится n измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквадратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.

3. Для n случайных величин, независимых, имеющих одно и то же среднеквадратичное значения

, среднее арифметическое будет при достаточно большом как угодно мало отличатся от среднего значения (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, при большом n и указанных условиях

при . (1.21)

1.4. Законы распределения случайных величин

Закон распределения случайной величины – некоторая функция, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между возможными значениями случайных величин и вероятностями этих значений.

Рис. 1.1. Формы закона распределения случайных величин

Таблица 1.3

Табличная форма закона распределения

Значение величины	x1	x2	…	xn
Вероятность значения	P1	P2	…	Pn