Частотно-модульовані сигнали (стр. 1 из 13)

1. ХАРАКТЕРИСТИКА ЧАСТОТНО МОДУЛЬОВАНИХ СИГНАЛІВ

1.1 Параметри частотно модульованих сигналів (девіація, коефіцієнт модуляції)

Загальний принцип частотної і фазової модуляції

Несуче коливання

характеризується значенням своїх параметрів – амплітуди, кругової частоти і початкової фази . Модуляція виражається в зміні за законом первинного сигналу с(t) значень одного чи декількох параметрів коливання , що перепишемо у вигляді [1]:

,(1.1)

де

– повна фаза гармонійного коливання.

Зміна кругової частоти чи початкової фази приводиться в остаточному підсумку до зміни повної фази (миттєвого кута) коливання (1.1). На цій підставі спосіб, заснований на зміні під впливом первинного сигналу с(t) чи частоти, чи початкової фази коливання носить назву кутова модуляція. З цього також випливає, що кутова модуляція, по-своєму способу здійснення, поділяється на частотну і фазову. Структурна схема каналів зв’язку з частотною модуляцією (ЧМ) зображена рис. 1.1 [1], де

та сигнали з частотною модуляцією відповідно.

Рисунок 1.1 – Структурна схема каналу зв’язку з ЧМ

Одержимо аналітичні вирази для сигналів з ЧМ.

Загальне вираження сигналу з кутовою модуляцією має вигляд [1]:

,(1.2)

де повна фаза

.

При частотній модуляції змінюється частота модульованого коливання за законом [5]:

,(1.3)

де

– максимальне відхилення частоти від номінального значення частоти, що називається девіацією частоти; значення 2 іноді називають смугою коливання частоти.

Як відомо, зміна частоти

викликає зміну початкової фази, пропорційної інтегралу від [1]:

.(1.4)

У свою чергу миттєва частота коливання змінюється за законом похідної від зміни фази [1]:

.(1.5)

Таким чином, при зміні частоти за законом (1.3) повна фаза модульованого коливання дорівнює [1]:

.(1.6)

І модульоване по частоті коливання одержує вид [1]:

.(1.7)

Коливання частотною модуляцією можна представити загальною формулою коливань з кутовою модуляцією [1]:

,(1.8)

де

– при частотній модуляції.(1.9)

Частотна модуляція

Сигнал з частотною модуляцією відноситься до інтегрованих систем модуляції і виражається [1]

.(1.10)

Шляхом звичайних перетворень отримаємо [1]:

;(1.11)

;

.(1.12)

Спектральна щільність і середня потужність перешкоди на виході ідеального приймача сигналів ЧМ виражаються, таким чином [1]:

;(1.13)

ε²=

;(1.14)

Отже, перевищення сигналу над перешкодою на виході ідеального приймача сигналів ЧМ дорівнює [1]:

.(1.15)

Середня потужність сигналу ЧМ дорівнює

.

При цьому узагальнений виграш дорівнює [1]

(1.16)

(1.17)

1.2 Ширина спектру частотно модульованого коливання в залежності від коефіцієнта модуляції

Перепишемо коливання у вигляді [5]:

,(1.18)

при цьому прийнято φ₀=0, від значення якої форма енергетичного спектру не залежить.

Функція автокореляції коливання з кутовою модуляцією дорівнює [5]:

(1.19)

Позначивши

Отримаємо [1]:

,(1.20)

де

– нормована функції автокореляції .

Таким чином, енергетичний спектр коливання з кутовою модуляцією[5]:

(1.21)

чи

, (1.22)

де

– енергетичний спектр, що відповідає функції автокореляції .

Аналізуючи отримані вирази, легко прийти до висновку про те, що спектр коливання з кутовою модуляцією, так само як спектр сигналу АМ, має дві симетричні щодо середньої частоти ω₀ бічні смуги частот (рис. 1.2) [1].

Рисунок 1.2 – Енергетичний спектр сигналу з кутовою модуляцією

Як видно, функція

зв’язана складною залежністю з моделюючою функцією с(t). Тому що обчислення спектру коливання з кутовою модуляцією для випадкової моделюючої функції с(t) сполучено зі значними математичними труднощами, тому обмежимося дослідженням спектрів сигналів з частотною модуляцією для найпростішої форми первинного сигналу с(t)=cosΩt у вигляді гармонійного низькочастотного коливання (модуляція одним тоном).

Сигнали з частотною модуляцією одним тоном виражаються формулами [2]:

,(1.23)

де

– індекс частотної модуляції.

Індекс модуляції

має фізичний сенс максимального збільшення початкової фази модульованого коливання. Користуючись співвідношенням з тригонометрії, отримаємо для частотної модуляції [1]:

.(1.24)

Скористаємося співвідношеннями з теорії Бесселевих функцій [1]:

,(1.25)

,(1.26)

де

– функція Бесселя першого роду n-го порядку від аргументу .

Після підстановки і відповідних елементарних перетворень одержуємо:

чи

(1.27)

Тому що

, (1.28)

де

=3π/2 – постійна початкова фаза.

Для ψ_m=5 амплітудний спектр сигналу з кутовою модуляцією показаний на рис. 1.3 [1]. Форма спектру коливання з кутовою модуляцією істотно залежить від індексу модуляції ψ_m.

У загальному випадку спектр коливання з кутовою модуляцією є більш складним, ніж спектр коливання з амплітудною модуляцією, зокрема, теоретично він є необмежено широким.

Рисунок 1.3 – Спектр сигналу з кутовою модуляцією

Однак можна помітити, що складовими спектру з номерами n > ψ_m через малу їхню інтенсивність можна зневажити. У цьому випадку ширина спектру сигналу з кутовою модуляцією визначається співвідношенням [1]: