1. Определяем характеристический полином
D(p) = 1+Kр(p) = Tp2+p+k = 0.
2. Определяем корни характеристического уравнения
p2+ (1/T) p+k/T = 0; p1,2 = -1/T ±jÖ (k/T-1/ 4T2).
3. Определяем:
– степень устойчивости s0 = -1/2T c-1;
– колебательность m = Ö (k/T-1/ 4T2)/ 0,5 T = Ö (4kT-1).
Применение критериев устойчивости для оценки качества
Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова можно использовать не только для определения устойчивости системы, но и для оценки ее качества.
Применение критерия Михайлова для оценки качества.
Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости необходимо в характеристический полином подставить p = -s0+ jw вместо p = jw и, если
, то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.
Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в характеристический полином подставить p = -s0+jw = w(-c+j) вместо p = jw и, если
, то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.
Применение критерия Найквиста для оценки качества.
Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы подставить p = -s0+ jw вместо p = jw и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.
Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы вместо p = jw подставить p=-s0+ jw= w(-c+j) и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.
7. Метод корневого годографа
Корневой годограф – геометрическое место точек корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра системы (чаще всего 0 £ к £ ¥).
Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы
(6)
где si - нули передаточной функции разомкнутой системы;
pi - полюса передаточной функции разомкнутой системы;
pk - полюса передаточной функции замкнутой системы.
Задача состоит в том, чтобы, зная расположение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы, найти корни передаточной функции замкнутой системы как функции параметра системы. Это и есть корневой годограф.
Если полюс pk (рис. 10) является корнем характеристического уравнения (т.е. точка принадлежит корневому годографу), то он обращает его в нуль, при этом выполняется условие модуля и аргумента:
Для упрощения процедуры построения корневого годографа необходимо использовать правила, позволяющие приближенно определить расположение ветвей корневого годографа.
Рассмотрим основные свойства корневого годографа.
1. Число ветвей корневого годографа равно – n.
2. Ветви корневого годографа расположены симметрично вещественной оси и нигде не пересекаются.
3. Ветви корневого годографа начинаются в полюсах передаточной функции разомкнутой системы, заканчиваются в нулях, а т. к. n ³ m, то остальные n – m ветвей уходят в бесконечность.
4. Ветви корневого годографа уходят в бесконечность вдоль асимптот.
Точка пересечения асимптот определяется как центр тяжести координат нулей и полюсов
(7)Угол наклона асимптот определяется по формуле
где к = 1,2,…,¥. (8)
Например: угол наклона асимптот при различном их количестве имеет вид (рис. 11а-г)
при n-m = 1;
при n-m = 2; 
при n-m = 3;
при n-m = 4; 
Определим расположение ветвей корневого годографа в области двух полюсов, расположенных на вещественной оси (см. рис. 12).
p2+ap+b=0,
(9) Если в-увеличивается, то значение подкоренного выражения уменьшается и корни сближаются. Если значение подкоренного выражения равно нулю, корни сольются. Если значение подкоренного выражения меньше нуля, корни станут комплексными.
Расположение ветвей корневого годографа в области двух нулей на вещественной оси приведено на рис. 12б.
Полюса движутся навстречу друг к другу, сливаются и далее расходятся к нулям.
Рис. 12
Рассмотрим примеры.
Пример 3. Построить корневой годограф системы с передаточной функцией
Решение:
1. Определяем количество полюсов, нулей и их разность:
n = 3; m = 0; n-m = 3.
2. Определяем значение полюсов и нулей:
p1 = -1; p2 = -2 p3 = -3.
3. Определяем точку пересечения асимптот
4. Определяем угол наклона асимптот
5. Строим примерный график (рис. 13а). Если задать s0, то можно определить, при каком коэффициенте усиления система достигнет границы устойчивости и заданной степени устойчивости. При этом можно определить критический коэффициент усиления.
Пример 4. Построить корневой годограф системы, передаточная функция которой имеет вид
Решение:
1. Определяем количество полюсов, нулей и их разность:
n = 6; m = 3; n – m = 3.
2. Определяем значение полюсов и нулей:
p1 = -1; p2,3 = -2 ± j2; p4 = -3; p5,6 = -4 ± j2.
s1 = -2; s2 = -4; s3 = -5;
3. Определяем точку пересечения асимптот
4. Определяем угол наклона асимптот
Ветви корневого годографа пересекают мнимую ось при критическом коэффициенте усиления.
Литература
1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2. Вероятностные методы в вычислительной технике. Под ред. А.Н. Лебедева и Е.А. Чернявского – М.: Высш. Шк., 1986. -312 с.
3. Попов Е.П. Теория нелинейных систем. М.: Наука, 1979. – 255 с.
4. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.
5. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. -712 с.
6. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Наука, 1977. – 270 с.