Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями (стр. 2 из 8)

Переход с режима 0 в режим 1 можно трактовать как частичную потерю работоспособности прибора, влекущую уменьшение интенсивности обслуживания с величины

на . Аналогично, переход с режима в режим означает переход прибора в более щадящий режим обслуживания. Переход с режима в режим означает восстановление тех функциональных возможностей, которые были утеряны прибором при переходе с режима в режим .

Состояние сети в момент времени

будем характеризовать вектором , где – состояние -го узла в момент времени . В соответствии с вышесказанным здесь – число заявок в -м узле в момент , – номер режима работы -го узла в момент .

Предположим, что

, если и , если , если и , если , если и , если , а уравнение трафика

имеет единственное решение

для которого (для этого достаточно, чтобы матрица , где , была неприводимой). Тогда – неприводимый марковский процесс на фазовом пространстве , где .

Цель 2.1 состоит в установлении условий эргодичности

и выяснении необходимых и достаточных условий, при которых стационарное финальное распределение процесса , где , представляется в мультипликативной форме

где

зависит только от состояния -го узла.

Отметим, что интенсивности перехода

процесса из состояния в состояние равны

для всех иных состояний

они равны нулю. Здесь – вектор, все координаты которого равны нулю кроме – вектор, все координаты которого равны нулю кроме – индикатор множества .

Анализ изолированного узла

Для упрощения обозначений в данном разделе будет опускаться индекс

, указывающий номер узла. Например, – состояние узла, – пространство состояний узла, – номер режима работы прибора в узле, – стационарное распределение состояний узла и т.д. Рассмотрим изолированный узел, и предположим, что на него поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Если стационарное распределение существует, то стационарные вероятности удовлетворяют следующей системе уравнений равновесия:

Для «заявко-сохраняющих» систем массового обслуживания (т.е. для которых совпадают средние интенсивности поступления и ухода заявок) один из возможных способов определения квазиобратимости выглядит следующим образом. Если на вход системы направлять простейший поток заявок с параметром

, то система называется квазиобратимой, если

Здесь

– часть интенсивности перехода системы из состояния в состояние , обусловленная обслуживанием заявок. Напомним, что система называется обратимой, если для любых ее состояний и