Оптимальність у системах керування (стр. 3 из 4)

. (17)

Оскільки система (17) з постійними коефіцієнтами не містить невідомих функцій

і , то всі її розв’язки можна легко знайти, після чого, використовуючи їх для розв’язання задачі максимізації функції на множині , знаходимо оптимальні керування .

Для будь-якого нетривіального розв’язання

системи (11) співвідношення (14) однозначно визначає керування , причому це керування кусково стале, а значеннями керування в точках неперервності є вершини багатогранника .

Точки розриву оптимальної функції керування

відповідають зміні значення керування і називаються точками перемикання. Якщо – точка перемикання, то ліворуч від неї керування має одне значення, наприклад, , а праворуч інше – .

Позначимо через

підмножину у виду

. (18)

Якщо всі корені характеристичного рівняння матриці

з (14) є дійсними, то для будь-якого розв’язання рівняння (18) кожна з функцій є кусково сталою і має не більше ніж перемикань ( – порядок системи (16)).

Керування

називається екстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.

Для лінійної задачі оптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником

керування є екстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання системи (17), для якого матиме місце співвідношення (18).

Зрозуміло, що будь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальне керування, що переводить фазову точку зі стану

у стан , треба відшукати всі екстремальні керування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснює перехід за найменший час.

У загальному випадку можуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зі стану

у стан , але якщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника , то екстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодії принцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але й одержати умови єдиності оптимального керування.

Припустимо, що початок координат є внутрішньою точкою багатогранника

припустимих керувань. Якщо і – два екстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану у стан за час і відповідно, то і , .

У теоремі має місце умова

.

Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану

у стан , то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з у .

4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями

У задачі з рухомими кінцями або початковий стан

, або кінцевий стан , або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини і , що містять точки та .

Гіперповерхня – це множина всіх точок

, які задовольняють співвідношенню

,

де

– скалярна диференційована функція. Якщо – лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням

. (19)

Якщо

, то гіперплощина (19) є ( )-вимірним лінійним підпростором в .

Будь-який (

)-вимірний підпростір може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з рівнянь із невідомими, матриця якої має ранг :

.

Такий лінійний підпростір називається

-вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь

де функції

, …, диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює , є -вимірним гладким різноманіттям.

Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування

для системи із законом руху

, , ,

яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану

на -вимірному різноманітті ( ) у деякий стан на -вимірному різноманітті ( ) і надає найменшого значення функціоналу