Математическое моделирование высокочастотных радиоцепей на основе направленный графов (стр. 4 из 5)

Для расчетов сложных цепей, содержащих нелинейные элементы, данный граф цепи необходимо разбить на линейные подграфы. На рис. 10 показан общий случай такого разбиения. Необходимым условием правильного разбиения является отсутствие обратных связей между подграфами. Если

- матрицы передач между выходными и входными узлами соответствующих подграфов, а

- матрицы - столбцы передачи нелинейных ветвей, то матрица передач измерительной системы

при воздействии на входе системы источников

равна.

(5)

где l - число линейных подграфов, а показания индикаторного прибора

равны

(6)

Примером сложного графа с несколькими линейными подграфами может служить система с многократным преобразованием частоты. Расчет таких систем сводится к расчету линейных подграфов и определению

на основе уравнения (5).

Рис. 10

Графы сложных линейных систем могут быть также разбиты на подграфы. Критерии разбиения разнообразны - наличие симметрии, последовательно или параллельно соединенных четырехполюсников, изменение структуры и т.д.

Расчет линейных графов, т.е. определение передачи между выбранными входными м выходными узлами графа ( подграфа ), может быть проведена двумя способами: 1) непосредственным расчетом на основе правила не касающихся контуров и 2) последовательным упрощением графа на основе известных правил преобразования.

Правило не касающихся контуров, впервые предложенное Мэзоном / 1 /, удобно при расчете сравнительно не сложных цепей . в формулировке автора оно выражается следующим образом:

, (7)

где

- величина k-го пути между узлами

;

D - определитель графа;

D k - определитель части графа, не касающегося k-го пути, т.е. не имеющего с k-ым путем общих узлов.

Уравнение (7) может быть представлено в удобном для практического использования виде:

(8)

где

- все контуры графа ( m = 1, 2, ..... n ),

причем

если путь

и контур

имеет хотя бы один общий узел.

Практика показывает, что произведение контуров второго и более высоких порядков мало влияют на величину передачи и в большинстве случаев могут не учитываться.

При этом правило Мэзона имеет простую форму и легко применимо для нахождения зависимости между двумя любыми переменными в графе.

Рассмотрим пример - направленный ответвитель, к плечам которого подключены генератор, нагрузка и индикатор ( рис.11, а ). Передача между узлами

в соответствии с уравнением (8) равна

(9)

Как видно из уравнения (9), даже простая система приводит к сравнительно сложному выражению для передачи, требующему каких-то упрощений для практического использования. Для упрощения подобных графов удобно воспользоваться условием зависимости и устранить ветви, не имеющие ни какой информации ( например,

). Эта операция может быть проведена понижением порядка графа - устранением вершины

. Для этого выделяем связи, имеющие непосредственный интерес и не проходящие через вершину

( рис.11, б ).

(10)

Связи

для наглядности структуры графа удобно сохранить в отдельности, несмотря на их равенство. Теперь для преобразованного графа сигнал

равен:

(11)

Наложим условие, необходимое для направленного ответвления отраженного от нагрузки сигнала

(12 )

Тогда в режиме выделения отраженного сигнала имеем