Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания (стр. 2 из 5)

Рассмотрим общий случай, когда для каждого узла

существует натуральное число и конечное множество индексов такое, что для всех , у которых для некоторого и для всех иного вида.

Будем предполагать, что матрица

неприводима. Тогда уравнение трафика

имеет единственное с точностью до постоянного множителя положительное решение

. Рассмотрим марковский процесс на фазовом пространстве , заданный инфинитезимальными интенсивностями

для всех иных состояний

считаем, что . Процесс описывает изолированный узел в фиктивной окружающей среде, в которой на узел посылается стационарный пуассоновский поток с параметром , где – любое решение уравнения трафика (3.1.1). При этом узел предполагается имеющим ограниченную емкость . Это значит, что когда в нем находится заявок и поступает заявка, то она теряется. Уравнения равновесия для стационарных вероятностей марковского процесса, описывающего такой узел, имеют следующий вид:

для

для

для

и для

для

Мы свяжем стационарное распределение

процесса со стационарными распределениями процессов и будем интересоваться достаточными условиями выполнения равенства

где

– нормирующая постоянная, зависящая от числа узлов в сети и от числа циркулирующих в ней заявок.

В отличие от открытой сети, здесь удобнее пользоваться введенной в [36,37,42] концепцией ограниченной квазиобратимости. Как там показано, для замкнутых сетей ограниченная квазиобратимость дает более широкие достаточные условия для выполнения (3.1.9), чем квазиобратимость.

Лемма 1.1 [46, C.325]. Если для изолированного узла в фиктивной окружающей среде входящий поток является простейшим, то обратимость и ограниченная квазиобратимость эквивалентны.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Для изолированного узла условие ограниченной

-квазиобратимости из [36,37,42] принимает вид

а условие обратимости – форму

и для

Достаточно показать, что при выполнении (3.1.2) – (3.1.8) из (3.1.10) следует (3.1.11). Пусть

при некотором фиксированном . Докажем, что тогда для всех выполняется (3.1.11). При соотношение (3.1.11) следует из (3.1.4) и соотношения (3.1.10) для состояний и . Предположим, что (3.1.11) выполняется для некоторого , т.е.

Тогда из (3.1.5) с учетом (3.1.12) и (3.1.10) для состояний

и вытекает (3.1.11). Итак, (3.1.11) доказано с помощью индукции по . Лемма доказана.

Лемма 1.2 [46, C.325]. Для ограниченной

-квазиобратимости изолированного

-го узла необходимо и достаточно выполнения условий

а) для

при некотором

б) для всех

где при

не определенная ранее величина

должна быть заменена на

. Марковский процесс

эргодичен, а его финальное стационарное распределение с точностью до постоянной нормировки

определяется соотношениями

где при

последнее неравенство надо заменить на .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Рассмотрим случайное блуждание по точкам с целочисленными координатами прямоугольника

, задаваемое уравнениями (3.1.2) – (3.1.8). Равенство (3.1.13) есть циклическое условие Колмогорова (2.2.18) для четырехзвенных путей, проходящих через вершины элементарного квадрата и идущих из в по и против часовой стрелки. Равенство (3.1.14) есть условие Колмогорова для -звенных путей, проходящих через вершины прямоугольника и ведущих из в по и против часовой стрелки. Это доказывает необходимость условий (3.1.13) и (3.1.14) для обратимости, а значит (по лемме 3.1) ограниченной -квазиобратимости изолированного узла в фиктивной окружающей среде. Предположим, что (3.1.13), (3.1.14) выполнены. Любой замкнутый путь из в без самопересечений либо а) представляет собой некоторую однозвенную замкнутую дугу, либо б) проходит по границе некоторой фигуры, составленной из конечного числа примыкающих друг к другу элементарных квадратов и определенных выше - звенных прямоугольников. Для случая а) циклическое условие (2.2.18) выполняется автоматически. В случае б) перемножим равенства (3.1.13) для всех элементарных квадратов и равенства (3.1.14) для всех прямоугольников, из которых состоит упомянутая фигура. При этом интенсивности перехода для тех направленных дуг, которые не принадлежат границе фигуры, войдут множителями как в левую, так и в правую части. После сокращения на них получится циклическое условие (2.2.18) для путей, идущих по границе фигуры по и против часовой стрелки. Достаточность условий (3.1.13) и (3.1.14) доказана.