Рис. П.2.3 Линейная модель системы фазовой автоподстройки частот
Из интегро-дифференциального уравнения в операторной форме нетрудно получить выражения для величины фазовой ошибки φ (р) и фазы θ2 (р) выходного сигнала ГУН, обеспечивающего слежения за изменениями фазы входного сигнала θ1 (р)
Отношение Н (р) = θ2 (р) / θ1 (р) и равное
называется передаточной функцией замкнутой петли регулирования. Используя ее, получим следующие соотношения между j (p), q1 (p), q2 (p):
, 
.Результат обратного преобразования:
называется импульсной переходной функцией замкнутой петли регулирования. Если F (p) является рациональной функцией, то Н (p) - также рациональная функция. Условие устойчивости приводит к требованию, чтобы нули функции [1 + A K F (p) /p] находились в левой полуплоскости. Выполнив обратное преобразование над θ2 (р) и φ (р), получим
Полученные выражения позволяют исследовать работу ФАП при различных законах изменения фазы входного сигнала θ1 (р).
Пусть, например, принимаемый сигнал имеет постоянную частоту w [рад/сек] и начальную фазу q0 и пусть в системе регулирования не будет фильтра. Тогда
.В этом случае q2 (t) = (w-w0) t+q0, так что
Обратное преобразование дает
Если предел limj (t) существует, его называют установившейся фазовой ошибкой. Из формулы для j (t) следует, что в рассматриваемом случае установившаяся фазовая ошибка равна (w-w0) / (AK) [рад], что означает, что управляемый генератор синхронизирован с принимаемым сигналом по частоте, но захват по фазе не может быть достигнут. Для того чтобы линейная модель была применима, необходимо, чтобы величины (w-w0) / (AK) и q0были малы.
Сохраняя тот же сигнал на входе, введем в систему фильтр, характеризуемый передаточной функцией
. Такой фильтр состоит из параллельного соединения прямого пути и идеального интегратора, имеющего усиление а, как показано на рис. П.2.4 В данном случае передаточная функция замкнутой петли регулирования имеет вид 
а преобразование Лапласа для фазовой ошибки соответственно равно
Для определения величины установившейся фазовой ошибки можно воспользоваться предельной теоремой для преобразования Лапласа:
Таким образом, введя в петлю регулирования второй интегратор, можно свести к нулю установившуюся фазовую ошибку в случае принимаемого сигнала, имеющего вид синусоиды постоянной частоты. Захваченная по фазе петля регулирования без фильтра называется петлей регулирования первого порядка, а петля с фильтром, содержащим идеальный интегратор, называется петлей регулирования второго порядка. Вообще, порядок системы регулирования равен числу конечных полюсов передаточной функции разомкнутой системы, т.е. в данном случае числу полюсов функции АКF (p) /p.
Рис. П.2.4 Схема фильтра для ФАП-2
Если интегратор в фильтре не идеальный, рис.П.2.5, то передаточная функция примет вид
Рис. П.2.5 Схема фильтра неидеальной петли ФАП-2
Она совпадает с передаточной функцией системы, состоящей из фильтра низких частот и усилителя и изображенной на рис. П.2.5, где а =1/R2C и e = l/ (R1 + R2) С. Эту схему легче реализовать, чем аналоговый интегратор, изображенный на рис. П.2.4, ее передаточная функция будет близка к передаточной функции аналогового интегратора, если сделать R1 гораздо больше R2 и скомпенсировать ослабление, применив усилитель с большим усилением.
Передаточная функция замкнутой системы равна
При такой передаточной функции преобразование Лапласа фазовой ошибки равно
и ее установившееся значение будет
что равно установившейся фазовой ошибке петли первого порядка, уменьшенной в e/а раз. Это и является мерой степени приближения рассматриваемой петли к идеальной петле второго порядка.
Наконец, рассмотрим принимаемый сигнал, частота которого линейно изменяется во времени
где R есть скорость изменения частоты в радианах в секунду за секунду. Это соответствует, например, случаю приема сигнала, передаваемого с помощью генератора постоянной частоты с борта самолета, перемещающегося с постоянным радиальным ускорением Rc/w [м/сек2] по отношению к приемнику, где с - скорость распространения в метрах в секунду. Тогда
Если для слежения за таким сигналом применить петлю первого порядка [F (s) = I], то преобразование Лапласа ошибки будет иметь вид
и фазовая ошибка j (t) неограниченно возрастает при t®¥, как это следует из применения предельной теоремы. Такой же результат получается для неидеальной петли второго порядка. Таким образом, необходимо применить по меньшей мере идеальную петлю второго порядка. В этом случае
так что установившаяся фазовая ошибка будет равна
Отсюда следует, что, чем больше величина усиления петли, тем меньше ошибка. Для того чтобы линейная модель, на которой было основано рассмотрение, была применима, фазовая ошибка должна быть мала по сравнению с 1 рад.
Установившуюся ошибку можно свести к нулю при помощи петли третьего порядка. Для этого необходимо ввести в фильтр петли второй интегратор, как показано на рис. П.2.6 Передаточная функция фильтра будет
Тогда передаточная функция замкнутой петли примет вид
и преобразование Лапласа фазовой ошибки будет равно
откуда следует, что установившаяся фазовая ошибка равна нулю.
Рассмотренные выше случаи сведены в табл.1. Из нее видно, в частности, что для отслеживания постоянной частоты (или угловой скорости) с конечной ошибкой достаточно применить петлю первого порядка, а для отслеживания линейно изменяющейся частоты (или углового ускорения) с конечной ошибкой необходима петля второго порядка. Увеличение на единицу порядка системы приводит к устранению установившейся ошибки, а понижение порядка на единицу приводит к неограниченному возрастанию ошибки.
Эти замечания справедливы для всех линейных систем регулирования.
Однако полученные количественные соотношения основаны на предположении о малости ошибки, которое дало возможность воспользоваться линейной моделью.
Рис. П.2.6 Схема фильтра петли регулирования ФАП-3
Таблица 1
Литература
1. Радиотехнические цепи и сигналы. Под ред. К.А. Самойло. - М.: Радио и связь, 1982.
2. Э.Д. Витерби. Принципы когерентной связи. - М.: Советское радио, 1970.
3. Г.А. Емельянов, В.О. Шварцман. Передача дискретной информации. - М.: Связь, 1982.
4. В.С. Чернега. Проектирование технических средств обмена и передачи информации. - М.: Высшая школа, 1990.
Д.А. Абдулаев, М.Н. Арипов. Передача дискретных сообщений в задачах и упражнениях. - М.: Радио и связь, 1985.