Оптимальные линейные системы (стр. 2 из 3)

Выберем в качестве оптимизируемой линейной системы фильтр с характеристикой вида:

Тогда, очевидно,

Кроме того, с учетом 3.12.2 имеем:

.

Тогда полная СКО воспроизведения полезного сигнала:

Оптимальное значение

параметра находим в результате решения уравнения:

откуда

С целью выявления физического смысла полученной зависимости введем в рассмотрение отношение сигнал/шум

на входе линейной системы. При этом средняя мощность полезного сигнала с учетом результатов 3.12.2 равна:

Среднюю мощность шума

на входе линейной системы определим как среднюю мощность «белого шума» в некоторой полосе частот , занимаемой полезным сигналом:

где

определяется как половина ширины эквивалентного прямоугольника по формуле (см.3.6):

Подставляя рассматриваемую функцию

, получаем

Таким образом,

так что

Вычислим теперь величину минимальной СКО воспроизведения полезного сигнала, соответствующую оптимальному выбору полосы

рассматриваемой линейной системы. В области имеем:

Тогда минимальная относительная СКО воспроизведения полезного сигнала равна

Соответственно в области

когда имеем:

4. Оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум

Рассмотрим, аналогично 1, обработку сигнала

на фоне «белого шума» , по-прежнему используя в качестве критерия оптимальности критерий максимума отношения квадрата мгновенного значения сигнала к средней мощности шума на выходе системы. В отличие от 1, будем полагать форму сигнала произвольной, а характеристику соответствующей линейной системы неизвестной. С учетом результатов 1 и 3 имеем:

В силу неравенства Коши получаем:

так что

Легко видеть, что отношение

достигает своего предельного значения, если

Линейная система с таким импульсным откликом называется фильтром, согласованным с сигналом

. При этом действительно

Выбирая

, где ‑ момент окончания сигнала , имеем

так что

где

‑ энергия сигнала .

Сравнивая полученный результат с отношением сигнал/шум на выходе линейной системы, рассмотренной в 4.1.1, легко видеть, что полная оптимизация в данном случае обеспечивает выигрыш в достигаемом значении отношения сигнал/шум, равный

дБ.

Функция передачи

согласованного фильтра в частотной области имеет вид:

где, при

, ‑ функция, комплексно сопряженная со спектром сигнала . В частности, , откуда становится ясным физический смысл полученного результата: при мешающем воздействии в виде «белого шума» согласованный фильтр подавляет в большей степени относительно малые по амплитуде частотные составляющие сигнала , в определенном смысле «жертвуя» ими в целях более эффективного подавления «белого шума».

Рассмотрим теперь ситуацию, когда шум на входе оптимизируемой системы не является «белым», т.е. является «окрашенным», или коррелированным, когда функция

имеет произвольный вид, отличный от -функции.

Представим характеристику

рассматриваемой линейной системы в виде произведения

что соответствует каскадному соединению двух соответствующих линейных систем.

Выберем характеристику

так, чтобы она удовлетворяла соотношению:

Тогда на выходе первого каскада имеется сигнал

со спектром и шум с энергетическим спектром . Итак, рассматриваемая задача сводится к задаче оптимального приема сигнала на фоне «белого шума» с энергетическим спектром . Следовательно, оптимальная характеристика должна соответствовать характеристике фильтра, согласованного с сигналом :