Моделі відкритої мережі (стр. 6 из 7)

Підставимо формулу (3.1.9) в (3.1.5) і (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) і (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) і (3.1.4). Тоді рівняння трафіка запишуться в такий спосіб

, (3.1.12)

, (3.1.13)

, (3.1.14)

, (3.1.15)

, (3.1.16)

. (3.1.17)

3.2 Знаходження рішень рівнянь трафіка

Позитивність рішення рівнянь трафіка для досить загальної моделі доведена в роботі [9].

Для знаходження рішень рівнянь трафіка складемо рівняння відносно

. Для цього перетворимо формулу (3.1.12), перенесемо все в ліву частину й приведемо до загального знаменника

. (3.2.1)

Тому що

, те формула (3.2.1) прийме наступний вид

. (3.2.2)

Підставляючи формулу (3.1.14) і (3.1.15) в (3.1.16) маємо

.

Приводимо до загального знаменника

. (3.2.3)

Підставимо формулу, отриману з формули (3.1.13) відрахуванням формули (3.1.12), одержимо

, у формулу (3.2.3), одержимо

,

. (3.2.4)

Позначимо

й , тоді

. (3.2.5)

Відповідно до формул (3.1.16) і (3.1.17)

. (3.2.6)

З огляду на формулу (3.2.6) і (3.2.5), одержимо

. (3.2.7)

Підставимо формули (3.2.5) і (3.2.6) у формулу (3.2.2), маємо

. (3.2.8)

Тому що

, те формула (3.2.8) прийме наступний вид

.

Розкриваючи дужки й приводячи подібні члени, запишемо формулу (3.2.9) у вигляді

Таким чином, отримане рівняння (3.2.10) квадратне, тобто

, (3.2.11)

де коефіцієнти

, з огляду на позначення й формулу (3.2.10), визначаються в такий спосіб

, (3.2.12)

, (3.2.13)

. (3.2.14)

Для рівняння (3.2.11) знайдемо дискримінант, з огляду на формули (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14), маємо

.

Для одержання рішення рівняння (3.2.11) повинне виконаються наступна умова

, а це можливо тоді, коли

.

Відповідно до формули

, одержимо

,

тобто

. (3.2.15)

Відповідно до малюнка 3.1, формула (3.2.15) є умову ергодичності. Якщо ця умова не виконується, то немає стаціонарного розподілу.

З огляду на формули (3.2.12), (3.2.14), (3.2.15) одержимо, що

, . Відповідно до зворотної теореми Вієта, якщо - корінь рівняння (3.2.11), те виконуються наступні співвідношення

Тому що

, те одне з корінь позитивний і один негативний.

Таким чином, рівняння (3.2.11) має одне позитивне рішення. Тобто система рівнянь трафіка (3.1.12) - (3.1.17) має позитивне рішення.

3.3 Рівняння рівноваги

У відповідності, з малюнком 3.1 складемо рівняння рівноваги

(3.3.1)

.

3.4 Визначення виду стаціонарного розподілу

Стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто

.

Стаціонарний розподіл

вузла має вигляд

,

де

, .

Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд

. (3.4.1)

Позначимо через

, , .

Тоді в цих позначеннях формула (3.4.1) запишеться в наступному виді

. (3.4.2)

Підставляючи формулу (3.4.2) у рівняння рівноваги (3.3.1), одержимо

(3.4.3)

.

Розділимо обидві частини рівняння (3.4.3) на

, одержимо

(3.4.4)

.

Через

запишемо рівняння трафіка (3.1.12) – (3.1.17)

, (3.4.5)

, (3.4.6)

, (3.4.7)

, (3.4.8)

, (3.4.9)

. (3.4.10)

Тому що

, ( ), те одержимо наступні співвідношення