Устройство формирования управляющих сигналов (стр. 2 из 4)

Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ) идеального дифференцирующего устройства есть отношение модулей амплитуд входного и выходного напряжений(

Фазо-частотная характеристика(ФЧХ) равна разности начальных фаз напряжений

Производная входного сигнала, домноженная на коэффициент пропорциональности m

Вычислим в общем виде АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего устройства.

;

Рассмотрим входной сигнал u₁(t), как синусоидальную функцию в общем виде, и переведём её в комплексную форму:

Таким образом,

Вывод: амплитуда выходного сигнала прямо пропорциональна его частоте во всём диапазоне частот, что, не приемлемо, так как частота помехи сильно превосходит частоты полезного сигнала, и, следовательно, амплитуда помехи на выходе будет усилена намного больше, чем амплитуда полезного сигнала.

А судя по фазо-частотной характеристи то идеальное дифференцирующее устройство изменяет фазу входного сигнала на

во всём диапазоне частот, что обеспечивает абсолютную точность дифференцирования на любой частоте.

Проверка возможности применения для целей дифференцирования сигнала простейшей дифференцирующей rc-цепочки

Так как суммирование u₁(t) и

происходит на высокоомных входах сумматора, можно считать, что rc-цепочка используется в режиме холостого хода на её выходе (исследуемое дифференцирующее устройство можно рассматривать как четырехполюсник). Выведем в общем виде амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики rc-цепочки. Найдем выходной сигнал, используя частные значения АЧХ, ФЧХ и проведем анализ пригодности устройства в роли идеального дифференцирующего устройства.

Нахождение АЧХ и ФЧХ rc-цепочки в общем виде:

Для этого запишем уравнения Кирхгоффа для rc-цепочки в комплексной форме (рис. 10):

Комплексный коэффициент передачи напряжения может быть найден, как отношение комплексных амплитуд, либо как отношение действующих значений напряжений:

Составляющие

называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.

Отсюда, АЧХ:

(1)

ФЧХ:

(2)

В общем виде, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики дифференцирующей rc-цепочки могут быть представлены в виде графиков (рис.11 и рис. 12):

Рис 11 и 12 - Общий вид АЧХ rc-цепочки АЧХ идеального дифференцирующего устройства и общий вид ФЧХ rc-цепочки ФЧХ идеального дифференцирующего устройства

Анализируя амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики дифференцирующей rc-цепочки можно сделать следующие выводы:

1) В области низких частот АЧХ rc-цепочки практически линейна и совпадает по форме с низкочастотной областью АЧХ идеального дифференцирующего устройства. При такой форме АЧХ, после дифференцирования возможно сохранится соотношение между амплитудами полезного сигнала, что требуется в техническом задании.

2) В области высоких частот

, т.е. амплитуда помехи не будет многократно увеличена, как в случае с идеальным дифференцирующим устройством. Возможно, что при определённых параметрах rc-цепочки будет обеспечена её достаточная помехозащищённость.

3) При некоторых значениях параметров rc-цепочки, её фазо-частотная характеристика будет оставаться в районе

в течении достаточно длительного диапазона частот. Таким образом может быть достигнуто требование по точности дифференцирования из технического задания.

Таким образом, rc-цепочку возможно использовать в качестве дифференцирующего устройства, если удастся так подобрать её параметры, чтобы выполнялись все три критерия качества из технического задания.

Выбор необходимых параметров rc-цепочки, согласно критериям технического задания

При анализе формул (1) и (2) можно заметить, что сопротивление резистора r и ёмкость конденсатора С входят в формулы АЧХ и ФЧХ только в виде произведения τ=r∙C. Это произведение является постоянной времени для rc-цепочки. Известно, что приемлемая точность дифференцирования обеспечивается в том случае, когда постоянная времени цепи хотя бы на два порядка меньше наименьшего интервала времени, в пределах которого функция u₁(t) изменяется с наибольшей скоростью. В данном случае достаточно, чтобы τ была в сто раз меньше половины периода высшей(второй) гармоники полезного сигнала, т.е. τ = r∙C=

. Период высшей гармоники полезного сигнала определяется, как

. Тогда

τ = r∙C=

≈ 22,4∙

(с).

Выберем ёмкость С = 1мкФ, тогда сопротивление r= 22,4 (Ом).

С учётом выбранных r и С окончательно получаем τ =

(с). Для этой постоянной времени построим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

По формуле (1):

По формуле (2):

ФЧХ rc-цепочки с выбранными параметрами r и c ФЧХ идеального дифференцирующего устройств

Входной сигнал имеет вид:

Найдем значения АЧХ и ФЧХ для частот сигнала:

=700 рад/с

=1400 рад/с

=200000 рад/с

Выходной сигнал:

Общая формула для вычисления:

Выходной сигнал без помехи:

Выходной сигнал с помехой:

Рис.8 – Выходной сигнал

Выхондой сигнал без помехи найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rc-цепочки на полезных частотах сигнала. Формула для нахождения каждой из составляющих выходного сигнала: u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin⁡(ωt+ψ_1+α(ω))

Выходной сигнал, полученный путем умножения дифференцированого входного сигнала без помехи на коэффициент m(коэффициент подбирается визуально, так чтобы графики выходных сигналов совпадали) m=0,0000224

u_2 (t)=0,0000224∙(1,6∙cos(700∙x)∙700+cos(1400∙x)∙1400) а

Рис.9 - Выходной сигнал с помехой

Выходной сигнал с помехой найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rc-цепочки на полезных частотах и на частоте помехи сигнала u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin⁡(ωt+ψ_1+α(ω))