;
;
;
.
Следовательно, для этого кода
.
Замечание –
характеризует корректирующую способность кода
.
10 Вес Хэмминга вектора
равен числу ненулевых позиций
, обозначается
. Например,
.
Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение
(1.1)
Пример –
;
. Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно
, где 
; 
; 
.Замечание – Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если
и 
принадлежат линейному коду 
, то 
– также является кодовым словом кода . Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, следовательно, 
, где 
и 
, т.е. справедлива теорема. Теорема 1. Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых кодовых слов.
Т.к.
, то возникает вопрос о величине 
, такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.2 Контроль ошибок
Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в
– мерном векторном пространстве. Например, для 
вектор 
находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора 
и 
. 
X0 1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 X1
0 0 1 0 1 1
X2
Рисунок 1.2
Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:
а) кодовые слова полного кода определяют
– мерное пространство, состоящее из 
последовательностей ( 
– трехмерное пространство, состоящее при 
из 8 последовательностей полного кода);б) кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество)
– мерного пространства, состоящее из 
последовательностей.Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) – запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.
Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый вектор:
. В этом случае ошибки не обнаруживаются, и контроль становится неэффективным.Из рассмотренной модели можно сделать следующий важный вывод: для
того чтобы передаваемые векторы можно было бы отличать друг от друга при наличии помех, необходимо располагать эти векторы в
– мерном пространствекак можно дальше друг от друга. Из этой же
– мерной модели следует геометрическая интерпретация расстояния Хэмминга: 
– это число рёбер, которые нужно пройти, чтобы перевести один вектор в другой, т.е. попасть из вершины одного вектора в вершину другого.2.1 Обнаружение и исправление ошибок
Стратегия обнаружения заключается в следующем. Декодер обнаруживает ошибку при априорном условии, что переданным словом было ближайшее по расстоянию к принятому слову. Покажем применение этого утверждения.
Пример 1. Пусть
; 
. Разрешенным для передачи является множество кодовых слов: 
.Очевидно, что код
имеет 
. Любая одиночная ошибка трансформирует данное кодовое слово в другое разрешенное слово. Это случай безизбыточного кода, не обладающего корректирующей возможностью.Пример 2. Пусть теперь подмножество
разрешённых кодовых слов предоставлено в виде двоичных комбинаций с чётным числом единиц. 
.Заданный код
имеет 
. Запрещенные кодовые слова представлены в виде подмножества 
: 
.Если
, то ни одно из разрешенных кодовых слов (т.е. кода 
) при одиночной ошибке не переходит в другое разрешённое слово этого же кода. Таким образом, код обнаруживает:– одиночные ошибки;
– ошибки нечетной кратности (для
- тройные).Например, тройная ошибка кодового слова
; 
, переводит его в запрещенный вектор 
.Вывод – В общем случае, при необходимости обнаруживать ошибки кратности
кодовое расстояние кода должно быть