Применение контроля информационных слов и их адресов по mod 3 в цифровых устройствах автоматики (стр. 5 из 7)
Подставим полученные выражения в формулу:
.Учитывая, что q – вероятность появления ошибки в одном разряде слова, то:
- вероятность непоявления ошибки в одном разряде слова; 
- вероятность непоявления ошибки во всех n разрядах m слов массива.Тогда
.И теперь окончательно получаем выражение для оценки вероятности обнаружения ошибки или неисправности:
Это выражение может быть использовано для оценки эффективности контроля по модулю. В частности, может быть получена зависимость
для носителей информации различной информационной емкости (0,5k; 1k; 2k; 4k; 8k; 16k и т.д.) и различной разрядности слов (8, 16, 32, 64 и т.д.) (рис. 1.18).n=16
n=32
n=64
n=16
n=32
n=64
Рис. 1.18. Анализ разрядов оценки эффективности обнаружения ошибок.
Текст программы расчета и построения графиков приведен в разделе «Приложение».
Зависимости имеют выраженный минимум;
Условная вероятность обнаружения ошибки левее минимума повышается из-за увеличения надежности изделия (
и т.д.);Условная вероятность обнаружения ошибки правее минимума повышается из-за увеличения вероятности появления ошибок, в том числе обнаруживаемых аппаратурой контроля по модулю 3;
Эффективность обнаружения ошибок при контроле по модулю 3 с увеличением числа разрядов информационных слов при q=const увеличивается;
Эффективность обнаружения ошибок при контроле по модулю 3 с уменьшением интенсивности ошибок увеличивается.
Построим зависимость Рmin=f(log2 m) при n=16 (рис. 1.19).
| m | log2 m | Pmin |
| 0,5k=512 | 9 | 0,999424 |
| 1k=1024 | 10 | 0,999713 |
| 2k=2048 | 11 | 0,999857 |
| 4k=4096 | 12 | 0,999928 |
| 8k=8192 | 13 | 0,999964 |
| 16k=16384 | 14 | 0,999982 |
| 32k=32768 | 15 | 0,999991 |
| 64k=65536 | 16 | 0,999996 |
| 128k=131072 | 17 | 0,999998 |
| 256k=262144 | 18 | 0,999999 |
Рис. 1.19
Из графика видно, что с увеличением log2m значение Рmin увеличивается, стремясь к единице. Т. е. эффективность обнаружения ошибок при контроле по модулю 3 с увеличением информационной емкости носителя информации (массива информации) увеличивается.
Высказанные выше соображения послужили основой для использования в совокупности контроля по mod 3 и контрольного суммирования для обеспечения обнаружения неисправности или ошибки с большой вероятностью. Была произведена оценка вероятности обнаружения ошибки при каждом рассмотренном выше виде контроля, а затем при их совместном исследовании. Вероятность появления ошибок j-й кратности в n-разрядном слове равна:
,где
- вероятность искажения одного разряда двоичного слова.Из этой формулы следует, что с увеличением кратности ошибок вероятность их возникновения уменьшается.
Были оценены вероятности обнаружения двойных и тройных ошибок. При этом рассмотрены представления массивов информационных и кодовых слов в виде матриц и выявлено общее число возможных двойных и тройных ошибок в слове, состоящем из n разрядов.
Общее число возможных двойных ошибок в n-разрядном слове равно:
.Это выражение получено из соображений, что каждая из двух ошибок может быть следующего вида
, 
, 
и 
, т.е. четыре возможных случая.Число пропускаемых ошибок двойной кратности, в случае если число разрядов кратно периоду повторения весовой функции
, при контроле по mod 3 равно: 
,где
- фиксируемое целое число, определяемое из выражения 
(
- модуль; если модуль равен 3, то 
и 
) - период повторения весовой функции; 
- коэффициент кратности; 
- число разрядов слова.Тогда вероятность пропуска двойной ошибки равна:
.Для ошибок тройной кратности получим:
; 
; 
,где
- число возможных ошибок тройной кратности; 
- число пропускаемых тройных ошибок; 
- вероятность пропускания тройной ошибки.Была оценена вероятность обнаружения двойных и тройных ошибок при использовании метода контрольного суммирования. Массив информационных или кодовых слов был представлен в виде матрицы:
где
- число разрядов слова; 
- число слов матрицы; 
- текущий номер слова; 
- текущий номер разряда слова; 
- текущий разряд слова (текущий элемент матрицы).Число возможных ошибок двойной кратности в этом случае равно:
.Двойные ошибки или двойные неисправности не будут обнаружены, если искажения информации находятся в одном столбце и имеют различные знаки. Тогда число пропускаемых двойных ошибок равно:
.Вероятность пропуска двойной ошибки равна:
.Из этого следует, что с увеличением числа слов проверяемого массива методом контрольного суммирования вероятность пропуска ошибки уменьшается.
Число возможных тройных ошибок было определено:
.Для пропускания тройной ошибки два искажения должны иметь один и тот же знак, противоположный знаку третьего искажения, и по величине составлять каждый половину третьего искажения. Такой случай возможен, если ошибки сосредоточены в соседних столбцах, причем третья ошибка расположена в столбце старших разрядов матрицы массива слов, а две ошибки, компенсирующие ее - в соседнем столбце (в сторону младшего разряда слова). Тогда число пропускаемых тройных ошибок будет равно:
.Вероятность пропуска тройных ошибок при использовании метода контрольного суммирования равна:
.Отсюда следует, что вероятность пропуска тройной ошибки зависит от числа строк матрицы или информационной емкости проверяемого массива слов.
Оценены число и вероятность обнаружения двойных и тройных ошибок при совместном использовании контроля по mod 3 и контрольном суммировании: