Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування (стр. 3 из 3)
,де
, 
, 
.Оскільки
, то математичне сподівання 
визначене для будь-якої функції 
і будь-якого розподілу ймовірностей 
на множині 
.Зокрема, якщо
, 
,… – розподіл ймовірностей 
на множині 
, то формулу (6) можна переписати так: 
При використанні цього співвідношення треба пам’ятати, що для двох функцій
, 
рівність 
має місце, якщо виконується хоча б одна з трьох умов: 
та 
; 
та 
; та .Відображення
задовольняє припущенню монотонності. Якщо функція 
– тотожний нуль, тобто 
, 
, то за умови 
, 
, функцію витрат за 
кроків можна подати у вигляді:
(7)де
, 
.Ця умова означає, що математичне сподівання обчислюється послідовно по всіх випадкових величинах
.При цьому зміна порядку операцій додавання і узяття математичного сподівання припустима, тому що
, , і для довільних простору з мірою 
, вимірної функції 
і числа 
має місце рівність 
.Якщо виконується одна з двох нерівностей
або 
,то функцію витрат за
кроків 
можна записати у вигляді: 
,де математичне сподівання обчислюється на добутку мір на
, а стани 
, 
, виражаються через 
за допомогою рівняння 
.Якщо функція
допускає подання у такому вигляді для будь-якого початкового стану 
та будь-якої стратегії 
, то -крокова задача може бути сформульована так: 
, (8) 
. (9)Відповідна задача з нескінченним горизонтом формулюється так:
, (10) 
. (11)Границя в (10) існує при виконанні будь-якої з трьох наступних умов:
·
, , 
, 
;·
, , , ;·
, 
, , , і деякого 
.Математичне сподівання визначається і як звичайний інтеграл, і як зовнішній інтеграл з
-алгеброю в множині , що складається із всіх підмножин , в залежності від вимірності або невимірності функцій.Для багатьох практичних задач виконується припущення про зліченність множини
.Якщо ж множина
незліченна, то справа ускладнюється необхідністю обчислення математичного сподівання 
для будь-якої функції
. Подолання цих труднощів і пов’язане з використанням зовнішнього інтеграла.