Переходные процессы в линейных электрических цепях (стр. 5 из 9)

Корни этого уравнения:

где .

Свободная составляющая искомого тока или напряжения записывается в виде:

(3.8)

где A₁, A₂ - неизвестные постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий.

Допустим, что для цепи второго порядка составлено характеристическое уравнение (3.6) и определены его корни (3.7), а также найдены принужденные составляющие искомых токов и напряжений. Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде:

. (3.9)

Для определения двух неизвестных

и необходимо составить два уравнения.

В качестве первого уравнения используется уравнение (3.9), а в качестве второго – используется первая производная от (3.9).

Рассматривая (3.9) и (3.10) на момент t=0, получим два уравнения с двумя неизвестными A₁ и A₂:

Совместное решение системы (3.11) дает:

После подстановки корней характеристического уравнения (3.6) и найденных постоянных интегрирования (3.12) в формулу общего решения (3.9) и преобразования, получим закон изменения искомого тока или напряжения:

(3.13)

где a=Y(0)-Y_пр(0); b=Y’(0)-Y’_пр(0) - постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Отметим, что формула (3.13) является общей для всех токов и напряжений в данной цепи второго порядка. При этом меняются только коэффициенты a и b и их размерность.

При решении конкретных задач могут представиться три случая.

Случай 1. Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и разные, что возможно при d>w_k.

В этом случае после коммутации в цепи возникает апериодический режим, при котором все токи и напряжения изменяются плавно, без колебаний, а их законы описываются уравнением (3.13).

Случай 2. Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и одинаковые, что возможно при d=w_k.

В этом случае в цепи после коммутации возникает критический режим.

При d=w_k, b=Öd²-w_k² =0, P₁=P₂=-d, формула (3.13) приобретает другой вид, поскольку

Подстановка полученных результатов в (3.13) дает формулу для расчета законов изменения токов и напряжений в критическом режиме:

В критическом режиме токи и напряжения, как видно из (3.14), изменяются также плавно, как в апериодическом режиме.

Критический режим лежит на границе между апериодическим и колебательным, к рассмотрению которого приступаем.

Случай 3. Корни характеристического уравнения (3.7) комплексные сопряженные, что возможно при d <w_k.

В этом случае в цепи после коммутации возникает колебательный режим.

При d <w_k имеем:

где - частота свободных колебаний.

Корни характеристического уравнения в этом случае принимают вид:

P₁ = -d + j*w_св; P₂ = -d - j*w_св.

Если в формуле (3.13) заменить b = j*w_св, то получим:

.

Поскольку, законы изменения токов и напряжений в колебательном режиме принимают вид:

(3.15)

Подчеркнем еще раз, что формулы (3.13), (3.14) и (3.15) являются общими для всех токов и напряжений в цепях второго порядка.

3.2 Алгоритм расчета переходных процессов в цепях второго порядка

На основании вышеизложенного можно предложить следующий алгоритм расчета переходных процессов в цепях второго порядка.

1. Расчет независимых начальных условий производится в цепи до коммутации, в результате чего определяются ток через индуктивность и напряжение на емкости:

2. Расчет зависимых начальных условий производиться для цепи, образовавшейся после коммутации. Для этого составляются уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Затем эти уравнения необходимо рассмотреть на момент t=0.

В уравнениях, составленных на момент t=0, известными будут: e(0), i_L(0) и U_C(0), а неизвестными U_L(0) и i_C(0), которые и определяются.

3. Расчет первых производится на момент t=0.

Для определения постоянных коэффициентов a и b, входящих в формулы (3.13), (3.14) и (3.15), необходимо знать значения не только искомых функций, но и их первых производных на момент t=0.

Первые производные искомых функций определяются путем дифференцирования уравнений, составленных по законам Кирхгофа, и рассмотрения их на момент t=0.

При этом в первую очередь определяются первые производные тока через индуктивность и напряжение на емкости, для чего используются уравнения связи между током и напряжением этих элементов.

. (3.16)

После этого определяются первые производные Y’(0).

4. Расчет принужденных составляющих и их первых производных на момент t=0.

Принужденные составляющие искомых токов и напряжений определяются любым известным методом расчета установившихся режимов в цепи образовавшейся после коммутации (по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др).

Затем полученные выражения для мгновенных значений принужденных токов и напряжений необходимо продифференцировать по времени, после чего определить: Y_пр(0) и Y_пр’(0).

5. Расчет постоянных коэффициентов a и b.

Постоянные коэффициенты a и b определяются по формулам:

6. Составление характеристического уравнения, определение и анализ его корней, выбор расчетной формулы для свободной составляющей.

Одним из описанных выше методов составляется характеристическое уравнение, например, Z(P)=0 и определяются его корни P₁ и P₂.

На основании анализа корней характеристического уравнения выбирается одна из трех формул (3.13), (3.14), (3.15) для расчета законов изменения тока или напряжения после коммутации.

3.3 Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при подключении его к источнику постоянного напряжения

Рассмотрим последовательный колебательный контур (Рис.3.1), который относится к неразветвленным цепям второго порядка.

Пусть данный контур при нулевых начальных условиях подключается к источнику постоянного напряжения

.

Рис. 3.1. Последовательный колебательный контур

Определим для этих условий законы изменения тока в цепи и напряжений на пассивных элементах после коммутации.

Расчет законов будем вести по принятому выше алгоритму.

1. Независимые начальные условия.

Цепь до коммутации была обесточена, поэтому

2. Зависимые начальные условия.

Зависимым начальным условием, в данном случае, является напряжение на индуктивности. Для его определения составим единственно возможное уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и рассмотрим его на момент t=0.

.

На момент t=0 получим:

Поскольку i(0)=0 и U_C(0)=0, постольку

Напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком принимает значение, равное приложенному напряжению.

3. Первые производные и их значения на момент t=0.