Основи теорії сигналів (стр. 2 из 2)

Якщо спрямувати період до нескінченності, амплітуди зменшаться до нескінченно малих величин, а спектральні лінії наблизяться одна до одної, тобто спектр стане суцільним. Відбудеться перехід від періодичної послідовності до одиночного імпульсу.

Рисунок 6 – Вплив тривалості імпульсів на АЧС

Якщо початок відліку часу не збігається з серединою імпульсів (рис. 8,а), відповідно до формули (3) змінюється тільки ФЧС, як показано на рис. 8,б.

Спектри неперіодичних одиночних сигналів оцінюється, так званою, спектральною густиною

, у відповідності з перетворенням Фур’є:

.

Модуль спектральної густини має розмірність В/Гц або А/Гц в залежності від розмірності сигналу (В або А).

Відновлення одиночного сигналу за його спектральною густиною виконується за допомогою оберненого перетворення Фур’є:

.

Рисунок 8 – Вплив початку відліку часу на ФЧС

Спектральна густина одиночного прямокутного імпульсу висотою

і тривалістю описується виразом:

.

Частотна залежність модуля спектральної густини

(АЧС) і частотна залежність аргументу спектральної густини (ФЧС) одиночного прямокутного імпульсу наведені на рис. 9.

Для розрахунку відгук кіл спектральним методом використовують комплексний коефіцієнт передачі кола

, який дозволяє визначити вихідні сигнали у випадках:

а) періодичного сигналу –

періодичний послідовність імпульс спектр амплітуда

де

, , – комплексна амплітуда, амплітуда і початкова фаза -ї гармоніки вхідного сигналу відповідно; , , – комплексний коефіцієнт передачі, значення АЧХ і ФЧХ кола для частоти -ї гармоніки вхідного сигналу відповідно;

б) неперіодичного сигналу –

,

де

– спектральна густина вхідного сигналу.

Розглянуті вище сигнали мають спектри в області низьких частот і такі сигнали називають відеосигналами. На відміну від них, радіосигнали з амплітудною, частотною або фазовою модуляцією мають спектри, сконцентровані поблизу носійної частоти

.

Рисунок 9 – АЧС (а) і ФЧС (б) одиночного прямокутного імпульсу наведеного на рис. 8,а

Якщо у носійного коливання

, амплітуда змінюється за законом відносно деякого середнього рівня , формується амплітудно-модульоване коливання (АМК), яке можна записати у вигляді:

,

де постійний коефіцієнт

вибраний таким, щоб амплітуда коливань була завжди додатною.

Якщо модулююче коливання

містить декілька гармонічних складових, які подані рядом:

, (4)

тоді модульоване коливання набуває вигляду:

, (5)

де величини

– парціальні (часткові) коефіцієнти модуляції, .

Подамо модулюючий сигнал (4) в іншому вигляді, пронормувавши амплітуди гармонік за амплітудою першої гармоніки.

,

де

; – нормовані амплітуди гармонік.

Тоді у виразі (5) парціальний коефіцієнт модуляції

-ї гармоніки можна подати як:

.

Спектр АМК (1) після тригонометричних перетворень набуває вигляду

(6)

Якщо АЧС модулюючого коливання має вигляд, наведений на рис. 2, а), тоді у відповідності до (2) матимемо спектр АМК, представлений на рис. 10.

Рисунок 10 – АЧС амплітудно-модульованого коливання

Таким чином, спектр АМК можна подати як перенесений на носійну частоту спектр модулюючого відеосигналу. Спектр містить носійне коливання і дві бокові смуги частот – «нижню» з частотами

і «верхню» з частотами . Рівень бокових частот визначається відповідними коефіцієнтами глибини модуляції , а ширина спектра дорівнює . Такий спектр відповідає радіосигналу.

Частковим випадком АМК є балансна модуляція або амплітудна маніпуляція, коли радіосигнал отримуємо у вигляді:

.

При цьому у випадку модулюючого сигналу

з дискретним спектром (4) спектр радіосигналу (2) відрізнятиметься відсутністю носійного коливання.

У випадку, коли балансна модуляція здійснюється неперіодичним сигналом, спектральна густина радіосигналу має вид:

,

де

– спектральна густина модулюючого відеосигналу.

Наприклад, спектральна густина радіосигналу на разі модулюючого коливання у вигляді одиночного прямокутного радіоімпульсу за умов балансної модуляції описується виразом:

.

Таким чином, амплітудна маніпуляція одиночним сигналом призводить до переносу спектра модульованого сигналу в область частот

.

Наявність від’ємних частот при спектральному аналізі пояснюється комплексною формою запису ряду Фур’є, або інтеграла Фур’є, в яких дійсна змінна часу коливання

формується за допомогою векторів, що обертаються як у додатному напрямі з частотою , так і у від’ємному з частотою .