Способы улучшения цифровых сигналов в условиях ограниченного объема априорной информации (стр. 2 из 4)

Таким образом, система уравнений (5) имеет единственное решение; аналогично доказательство единственности решения для целевых функций вида (6) и (7).

Для нахождения точки наименьшего значения целевых функций

(5), (6) и (7) применим метод наискорейшего спуска [4]. Зададим точность , с которой будут найдены значения . В качестве начальной итерации примем , . При каждом зададим величину , присвоив ей значение левой части k-го уравнения систем (10).

Для целевой функции (6), получим:

(11)

Целевая функция (7) сводится к решению системы:

(12)

Кроме того, для целевой функции вида (5) введем величину:

. (13)

Для целевой функции вида (6) – величину:

. (14)

Для целевой функции вида (7) – величину:

. (15)

Если

, то в точке функция достигает наименьшего значения. Заметим, что и что тогда и только тогда, когда . В случае функция является квадратичной функцией с положительной второй производной. Решив уравнение , найдем точку минимума

– для целевой функции вида (5):

, (16)

– для целевой функции вида (6):

, (17)

– для целевой функции вида (7):

(18)

Так как в точке

производная функции по направлению вектора положительна, то ; следовательно . Произведем коррекцию значений :

, .

После этого проверяем условие

. (19)

Если неравенство (19) выполняется, требуемая точность считается достигнутой, и расчет заканчивается. Тогда

, т.е. расстояние между двумя последними итерациями в пространстве не превосходит . В случае невыполнения условия (19) повторяется расчет величин и проверка указанного условия.

Таким образом, вектор оценок

итерационно корректируется так, чтобы целевая функция достигла своего наименьшего значения. На некотором шаге итерационного процесса выполнится условие (19), и вычисления прекращаются. Полученный вектор оценок с заданной точностью будет являться точкой наименьшего значения целевой функции при заданных начальных условиях [5].

Также в работе предложено аналитическое решение двухкритериальной целевой функции вида (5). Как установлено ранее, точка минимума функции (5) является единственным решением системы линейных уравнений [2, 3]

(20)

Покажем, что это решение имеет вид

, , (21)

где

, (22)

(23)

(здесь и далее – биноминальные

. (24)

Воспользовавшись соотношениями (21), (22) при

и соотношением (23) при , получим

.

Подставив результат в первое уравнение (20), получим тождество

.

Убедимся в том, что величины (21) (при условиях (22)–(24)) удовлетворяют k-му уравнению системы (20) и при

, т.е.

где

. (25)

Преобразуем левую часть уравнения:

Упростим часть выражения в левой части, используя свойства биномиальных коэффициентов [4]:

(здесь и далее считаем, что при

сумма вида равна нулю).

Таким образом, k-е уравнение системы (20) принимает вид

.

С учетом выражений (23) и (25) полученное соотношение перепишется следующим образом:

Упростим левую часть уравнения, используя свойства биноминальных коэффициентов:

Преобразуем коэффициент при

в последней сумме:

Таким образом, k-е уравнение системы (20) превращается в тождество

Докажем, что величины (21) удовлетворяют

-му уравнению системы (20), т.е.

или

Коэффициент при

равен

Уравнение принимает вид

Выражение в скобках равно

Так как

, то , а это равенство выполнено в силу (24).

Итак, выражение (21) (при подстановке в него выражений (22)–(24)) дает единственное решение системы уравнений (20); это решение минимизирует функцию (5), и других точек минимума данная функция не имеет.

Для проверки эффективности многокритериальных методов сглаживания цифровых сигналов в качестве критерия используем среднеквадратическое отклонение оценок от значений входной реализации: