Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех (стр. 6 из 9)
Для суммы стационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение
.5. Узкополосные случайные процессы
Важность этих процессов для статистической радиотехники требуют более подробного их рассмотрения.
Для более подробного анализа определим огибающую
и фазу 
узкополосного случайного процесса (УСП). Часто огибающую определяют по формуле 
, (12)где
– сопряженный с 
по Гильберту процесс. Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП, получаем 
. Точность выражения иногда может вызывать сомнение, поскольку только для гармонических колебаний равенство (12) несомненно. Определим, насколько параметры УСП влияют на точность этой формулы.Используя известные соотношения для комплексной амплитуды аналитического сигнала
, получим
и 
. (13)Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП и используя составляющие (13) комплексной огибающей, можно записать
.Разложим функции
и 
в подынтегральных выражениях в ряд Тейлора в окрестности точки x=t и почленно проинтегрируем. Получим 
= 
, (14)где Q(t) – остаточное слагаемое, характеризующее отброшенную часть суммы. Подставив в выражение (14)
и , получим 
. (15)Из формулы (15) видно, что если можно пренебречь функцией Q(t), то сопряженный по Гильберту УСП имеет такую же огибающую, что и исходный УСП.
Из таблиц определенных интегралов известно:
С учетом этих выражений формулу для Q(t) можно записать:
Считаем, что полоса огибающей равна
, поэтому вторые производные по своим значениям не превосходят 
. Поэтому можно полагать, что 
.Следовательно:
.Отсюда видно, что для УСП функции u(t) и u1(t) имеют одинаковую огибающую с погрешностью, зависящей от отношения ширины спектра к его средней частоте. Для узкополосных случайных процессов обязательным является выражение
, следовательно, огибающая удовлетворяет требованиям, которые к ней предъявляются в соответствии с определением УСП, т.е. является касательной в точках, соответствующих максимальным значениям УСП (или вблизи от них), и имеет общие значения с ним в точках касания. Степень «близости» точки касания к максимальному значению зависит от того же отношения 
.Фаза
однозначно определяется известными соотношениями для представления комплексного числа в показательной форме.Графически УСП можно представить в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью
, длина вектора медленно меняется во времени так же, как и фазовый угол . Исходный УСП является проекцией вектора на горизонтальную ось. Если всю систему координат заставить вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, то та же проекция будет огибающей 
.Если исходный УСП является нормальным, то
и 
также являются нормальными случайными процессами. Если УСП u(t) нормален, стационарен, имеет нулевое среднее значение и функцию корреляции 
, то и также имеют нулевые средние значения и корреляционную функцию 
. В то же время и 
взаимно некоррелированы, а так как они нормальны, то и взаимно независимы. Сомножитель 
является огибающей корреляционной функции .Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Плотности вероятности огибающей и фазы УСП можно получить, совершая преобразования, которые были использованы для их получения. Эти преобразования показывают, что огибающая и фаза являются независимыми. СВ как в совпадающие, так и в несовпадающие моменты времени. Одномерная плотность вероятности огибающей (в один момент времени) подчиняется закону Рэлея, а плотность вероятности фазы равномерна в пределах от
до 
.Сложные преобразования показывают, что центрированная корреляционная функция огибающей приближенно равна квадрату огибающей корреляционной функции исходного УСП. Спектральная плотность мощности огибающей имеет два слагаемых: дельта-функцию, соответствующую постоянной составляющей огибающей, и спектральную плотность флюктуационной составляющей, которая является преобразованием Фурье от квадрата огибающей корреляционной функции исходного УСП.
Если СП является суммой узкополосного нормального процесса и синусоиды со случайной начальной фазой, то мгновенные значения синусоиды распределены по закону арксинуса, сумма – по бимодальному закону, соответствующему свертке нормального закона и закона арксинуса. После применения тех же преобразований, что и для узкополосного нормального СП, получим для огибающей распределение Райса
,где
, А0 – амплитуда синусоидального сигнала; 
– среднеквадратическое отклонение шума.При
распределение Райса переходит в распределение Рэлея.При больших отношениях
, т.е. при А0 >> 1 (отношение сигнал/шум), распределение Райса может быть аппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием, равным А0.6. Временные характеристики случайных процессов
Во многих случаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля есть лишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторых условиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству.
Простейший вариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения. Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt,
(рис. 24).Среднее арифметическое значение определим известным образом:
.Умножим числитель и знаменатель этого выражения на Dt: