Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех (стр. 4 из 9)
Отметим, что третий центральный момент (p = 3 в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностей вероятности
), а четвертый (p = 4) – степень остроты вершины плотности вероятности.Рассмотрим пример вычисления одномерных моментов распределения.
ПРИМЕР 1. Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экране осциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключенной развертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценить математическое ожидание и дисперсию процесса.
Решение примера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записать аналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).
При этом максимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площади треугольника единице:
,откуда
.
Рис. 14
Такое симметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.
В соответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны
= 1 В; 
.Однако удобнее вычислить вначале второй начальный момент
= 7 В2,тогда
= 6 В2.Смешанные начальные моменты определяются соотношением
. (5)Смешанные центральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированное значение
.Ввиду того, что значения x в смешанных моментах определяются в различные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимости значений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным является простейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическую взаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:
; 
. (6)Как видно из определения, размерность корреляционной функции определяется размерностью квадрата величины x (для напряжения – В2).
Для стационарного СП корреляционная функция зависит только от разности
: 
.Следует заметить, что при t = 0 максимальное значение K(0) = s2.
На рис. 15 приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.
Кроме функционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типы функционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди них является функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемый характеристической функцией
. (7)Нетрудно заметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотности вероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.
Поэтому можно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функции восстановить плотность вероятности:
.Соответственно для n-мерного случая имеем
. (8) 
Рис. 15
Основные свойства характеристической функции состоят в следующем:
– свойство нормировки
;– свойство симметрии
;– свойство согласованности
;– определение характеристической функции суммы независимых случайных величин
.Как видно из анализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристической функции проще плотности вероятности. Простая связь также между характеристической функцией и моментами плотности вероятности.
Пользуясь определением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:
.Отсюда
.Можно заметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрирования при определении моментов плотности вероятности.
ПРИМЕР 2. Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольной формы?
Решение примера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольной формы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).
Рис. 16
Так как характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всеми свойствами плотности вероятности. В данном случае
.График плотности вероятности представлен на рис. 16б.
Как видно из выражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности не удовлетворяет условию положительной определенности (
), следовательно, процесс с заданной характеристической функцией не может существовать.4. Энергетические характеристики случайных процессов
К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.
В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.
.Основные свойства автокорреляционной функции:
– свойство симметрии
, для стационарных процессов – четность 
;– свойство ограниченности
, для стационарных процессов 
;– свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов)
;– свойство положительной определенности интеграла
;– размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.
Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.
Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:
; 
; 
; 
.Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции
; 
,причем
; 
.Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.
Основные определения интервала корреляции:
– интегральный (для положительно определенных корреляционных функций)
. Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);