Метод кусочного размножения оценок при обработке реализаций сигналов ограниченного объема (стр. 5 из 7)

В этом случае функция единичного скачка (17), подаваемого на вход, перепишется в следующем виде:

, . (18)

Используя выражение (5) и определение исходного сигнала (14), запишем отклик системы, описываемой выражением (6):

, (19)

где индекс

в показывает степень аппроксимирующего полинома.

Анализ выражения (10) показывает, что отклик системы

является четной функцией относительно , тогда выражение (19) для интервала перепишется следующим образом:

. (20)

На рис. 8 представлен график функции

, при различных значениях параметра . Так как пространство аппроксимирующих функций (2) ограничено условием , то представлены графики функции при , и [9]. Зависимости, показанные на рис. 8, получены при фиксированном значении ширины интервала разбиения . Анализ результатов, представленных на рис. 8, показывает, что полученные импульсные характеристики фильтра имеют затухающий характер. Отклик системы на единичное воздействие при имеет треугольную форму, с ростом значения , характеристика принимает затухающий характер и колеблется относительно нуля. Число колебаний импульсной характеристики пропорционально параметру . Импульсная характеристика по модулю не превосходит некоторой постоянной величины, что позволяет сделать вывод об устойчивости анализируемого фильтра [3, 4].

Рис. Импульсная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при различных степенях аппроксимирующего полинома

на каждом интервале разбиения

Длина импульсной характеристики определяется параметром

и является четной функцией относительно . Таким образом, дискретный фильтр представляет собой КИХ фильтр (дискретный фильтр с конечной импульсной характеристикой) с симметричной импульсной характеристикой [17]. Анализ выражения (20) показывает, что форма импульсной характеристики для каждого определяется и пропорциональна ее автокорреляционной функции.

В соответствии с выражением (16) системной функцией дискретного фильтра является

-преобразование импульсной характеристики [3, 17]. Произведя -преобразование импульсной характеристики (20), получим выражение для системной функции дискретного фильтра :

(21)

где индекс

показывает степень аппроксимирующего полинома.

Заменяя в (21)

на , получим выражение для частотного коэффициента передачи цифрового фильтра .

На рис. 9 представлены результаты расчета модуля частотного коэффициента передачи

дискретного фильтра (амплитудно-частотные характеристики – АЧХ), полученные выражением (21).

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения

и различной фиксированной степени аппроксимирующего полинома на каждом интервале

Так как частотная характеристика является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации, то используется нормировка для проведения сравнений характеристик различных фильтров. Ось частот рис. 9 нормирована относительно

, и вся характеристика находится в интервале . А так как характеристика симметрична относительно , то на рис. 9 и далее рассматривается интервал [3].

Анализ результатов, представленных на рис. 9, показывает, что АЧХ дискретного фильтра зависит от степени аппроксимирующего полинома

. Максимальный уровень боковых лепестков составляет -24 дБ при , -17 дБ при и -11 дБ при . Максимальный уровень боковых лепестков практически линейно увеличивается с ростом [2]. Для сравнения АЧХ различных оконных функций вводят понятие эквивалентной шумовой полосы, которая определяется следующим образом [3]:

. (22)

Если исходная обрабатываемая последовательность представляет собой сумму гармонического сигнала с частотой, кратной частоте ДПФ и белого шума, тогда значение

показывает, во сколько раз уменьшается отношение сигнал-помеха после обработки входной последовательности оконной функцией. Таким образом, используя выражение (21) и (22), значение эквивалентной шумовой полосы составит при – , при – и при – . С ростом степени аппроксимирующего полинома полоса пропускания дискретного фильтра увеличивается по линейному закону.

Расширение полосы пропускания при увеличении степени аппроксимирующего полинома связано с тем, что происходит выделение не только низкочастотной составляющей, но и учитываются колебательные процессы более высокой частоты. В случае выбора степени полинома, равной

, будут учтены все составляющие спектра входного сигнала, и выходной сигнал полностью повторит входной.

На рис. 10 представлены графики расчета фазочастотной характеристики коэффициента передачи фильтра (ФЧХ)

(21).