Линейные преобразования случайных сигналов (стр. 3 из 4)
В частотной области
Gy(
) = Gx( )K2( ), тогда 
y2 = (2p)-1 
Gx( ) K2( )d .Во временной области By(
) = Bx( )×Bh( ). Полагая = 0 и учитывая, что Bh(- ) = Bh( ), можно записатьsy2 = Bx(
) Bh( )d .2. Нормализация случайных сигналов в узкополосных электрических цепях
Допустим есть устройство, имеющее структурную схему, показанную на рис. 12.
Рис. 12
Если СП с нормальным законом подвергнуть какому-либо нелинейному преобразованию (например, двухстороннему ограничению), то его закон распределения изменится (рис. 13).
Рис. 13
На выходе узкополосной цепи опять получим сигнал с нормальным распределением, и этот закон тем ближе будет к нормальному, чем ýже полоса пропускания используемой линейной цепи.
3. Исследование на LabVIEW линейных преобразований случайных процессов и явления нормализации
Исследование влияния полосы фильтра на вид и параметры реализации случайного процесса
Количество реализаций: 200.
Тип фильтра: НЧ Баттерворта.
Порядок фильтра НЧ: 50.
Выполнение:
а) Частота среза фильтра НЧ: 3 МГц
Полученные данные показаны на рис. 1
Рис. 14
Погрешность оценки спектральной плотности мощности составляет:
мВ2/МГц (оценка методом экспресс-анализа).Дисперсия процесса может быть определена по площади под кривой спектральной плотности мощности, которая приблизительно равна 3 мВ2.
Среднеквадратическое отклонение оценки составит
мВ; значение практически соответствует полученным данным (1,7359 мВ).б) Частота среза фильтра НЧ: 2 МГц.
Полученные данные показаны на рис. 15.
Погрешность оценки спектральной плотности мощности процесса на выходе фильтра составляет:
мВ2/МГц.Среднеквадратическое отклонение процесса составит
мВ – значение практически соответствует полученным данным. 
Рис. 15
в) Частота среза фильтра НЧ: 4 МГц.
Полученные данные показаны на рис. 16.
Рис. 16
Погрешность фильтра составляет:
мВ2/МГц.Среднеквадратическое отклонение, вычисленное по площади, ограниченной усредненной спектральной плотности мощности, составит
мВ; значение практически соответствует полученным данным.Выводы. При увеличении полосы ФНЧ корреляционная функция уменьшается (из-за уменьшения дисперсии), при этом главный лепесток расширяется и уменьшается плотность распределения вероятности. Вид корреляционной функции соответствует кривой
. Скорость изменения мгновенных значений в реализации увеличивается с ростом верхней граничной частоты фильтра. Увеличивается и размах реализации. С увеличением дисперсии уменьшается максимальное значение плотности вероятности.Влияние полосы П полосового фильтра на вид и параметры реализации входного случайного процесса
Количество реализаций: 200.
Частота среза ФНЧ: 3 МГц.
Тип фильтра: НЧ Баттерворта.
Порядок фильтра НЧ: 50.
а) Нижняя частота среза: 1,2 МГц.
Верхняя частота среза: 1,8 МГЦ.
Центральная частота: 1,5 МГц.
Полученные результаты показаны на рис. 17.
Рис. 17
Погрешность оценки спектральной плотности СП на выходе фильтра составляет:
мВ2/МГц.Среднеквадратическое отклонение, вычисленное по площади ограниченной усредненной спектральной плотности мощности, составит
, мВ; значение практически соответствует полученным ранее результатам.б) Нижняя частота среза: 1,0 МГц;
Верхняя частота среза: 2,0 МГЦ;
Центральная частота: 1,5 МГц.
Полученные результаты показаны на рис. 18.
Рис. 18
Погрешность фильтра составляет:
мВ2/МГц.Среднеквадратическое отклонение, вычисленное по площади, ограниченной усредненной спектральной плотности мощности, составит 1 мВ; значение практически соответствует полученным результатам.
в) Нижняя частота среза: 0,5 МГц.
Верхняя частота среза: 2,5 МГЦ.
Центральная частота: 1,5 МГц.
Полученные результаты показаны на рис. 19.
Рис. 19
Погрешность фильтра составляет:
мВ2/МГц.Среднеквадратическое отклонение, вычисленное по площади, ограниченной усредненной спектральной плотности мощности, составит
мВ; значение практически соответствует полученным данным.Выводы. При увеличении полосы П полосового фильтра боковые лепестки корреляционной функции уменьшаются как по амплитуде, так и по количеству, при этом максимальное значение плотности вероятности уменьшается, а площадь плотности вероятности огибающей узкополосного шума увеличивается. В реализации с ростом полосы пропускания фильтра увеличивается скорость изменения огибающей и возрастает размах реализации. Растет максимальное значение корреляционной функции при нулевом значении ее аргумента.
Исследование нормализации случайного процесса
а) Полоса пропускания: 1 МГц. Центральная полоса: 1,5 МГц.
Полученные результаты показаны на рис. 20.
Рис. 20
б) Полоса пропускания: 0,75 МГц.
Центральная полоса: 1,5 МГц.
Полученные результаты показаны на рис. 21.
Рис. 21
в) Полоса пропускания: 0,5 МГц.
Центральная полоса: 1,5 МГц.
Полученные данные показаны на рис. 22.
Рис. 22
г) Полоса пропускания: 0,5 МГц.
Центральная полоса: 1,5 МГц.
Полученные данные показаны на рис. 23.
Рис. 23
д) Полоса пропускания: 0,125 МГц. Центральная полоса: 1,5 МГц.
Полученные данные показаны на рис. 2
Рис. 24
Для наглядности данные сведены в табл. 1, а график зависимости коэффициента эксцесса от полосы пропускания полосового фильтра показан на рис. 25.
Таблица 1Результаты исследований
| Полоса пропускания, МГц | Коэффициент эксцесса |
| 1,0 | -1,006 |
| 0,75 | -0,8639 |
| 0,5 | -0,5004 |
| 0,25 | -0,3113 |
| 0,125 | -0,06627 |
Рис. 25
Выводы
В спектральной плотности мощности СН на выходе нелинейного элемента наблюдаются отличающиеся от нуля значения при частотах
и 3 . При уменьшении полосы пропускания плотность вероятности стремится к нормальной, а коэффициент эксцесса уменьшается (возрастает острота вершины плотности вероятности), а значит, плотность вероятности стремится к нормальной, что соответствует центральной предельной теореме теории вероятности. При увеличении полосы пропускания нормализующего фильтра плотность вероятности стремится к двум d-функциям.