Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги (стр. 3 из 3)

(32)

Таким чином, якщо врахувати (32)

(33)

Обчислимо ймовірність

за умови (33):

(34)

.

В останній рівності поміняємо порядок сумування змінних

і . Тоді (34) можна записати у вигляді:

.

Тепер можна записати значення

:

(35)

Враховуючи (31) і (35) до рівності (28) маємо вираз для функції розподілу часу очікування початку обслуговування у вигляді

(36)

Вираз (36) можна спростити і тоді:

(37)

Випадкова величина

не є дискретною, бо в точці і 1 функція розподілу має розрив. Якщо ввести функцію що має похідну , тоді можна записати щільність розподілу часу очікування обслуговування , тобто

(38)

,

де

.

4. Середній час очікування початку обслуговування

Якщо врахувати (38) і формулу обчислення математичного сподівання випадкової величини, тоді можна обчислити середній час очікування початку обслуговування:

(39)

.

Відомо, що

, тому другий інтеграл у (39) дорівнює нулю, тоді

.(40)

Оскільки для існування фінальних ймовірностей достатньо, щоб

, тоді , звідки . Враховуючи це в (40), отримаємо:

.(41)

5. Середній час перебування заявки у СМО

Позначимо середній час перебування заявки в СМО через

. Середній час перебування заявки в системі складається із часу очікування обслуговування і часу, що йде на обслуговування, тобто

,

тоді

.

Враховуючи (41) і те , що

, маємо

. (42)

6. Функція розподілу випадкового часу перебування заявки у СМО

(43)

,

де

– щільність розподілу випадкового часу очікування обслуговування, що обчислюється за формулою (38), а – щільність розподілу випадкового часу обслуговування.