Моделирование голограммы, получаемой с помощью подповерхностного сканирующего радиолокатора (стр. 2 из 4)
. (4)Зная спектр плоских волн в произвольной плоскости
, можно вычислить соответствующую комплексную амплитуду поля с помощью преобразования Фурье 
.(5)Делая замену переменных
, 
в выражении (1) получаем 
,(6)в котором
(7)– преобразование Фурье от распределения комплексной амплитуды по апертуре излучающей антенны.
Подставляя (1), (3) и (4) в выражение (5), получим
(8)Выражение (8) позволяет по известному распределению комплексной амплитуды по апертуре излучающей антенны находить комплексную амплитуду в нижнем полупространстве, заполненном однородным веществом, имеющим комплексную диэлектрическую проницаемость
. Рассмотрим точечный отражатель, расположенный в нижнем полупространстве и имеющий координаты
. Будем отраженное от него поле в плоскости 
описывать функцией 
,(9)где
задается выражением (8).Спектр плоских волн для распределения комплексной амплитуды (9), вычисленный с использованием (2) будет иметь вид
.(10)Распространяясь до плоскости
, спектр трансформируется согласно 
.(11)После прохождения границы раздела, каждая плоская волна должна быть умножена на коэффициент прохождения Френеля при распространении снизу вверх, таким образом, что спектр плоских волн в плоскости
принимает вид 
,(12)где
– коэффициент прохождения Френеля для плоской волны, характеризуемой парой 
.Распределение комплексной амплитуды поля в плоскости
будет находиться как обратное преобразование Фурье от спектра, задаваемого выражением (12) 
.(13)Принимаемый апертурой антенны, центр которой имеет координаты
, сигнал записывается как 
.(14)Подстановка (13) в (14) приводит к такому выражению для комплексного выхода с антенны
(15)в котором
(16)– обратное преобразование Фурье от распределения комплексной амплитуды по апертуре антенны.
Комплексный выход
с антенны радиолокатора, центр апертуры которой имеет координаты 
, при отражении от точечного рассеивателя, координаты которого задаются вектором 
, может быть записан следующим образом 
,(17)где
– комплексный коэффициент отражения от элементарной площадки заглубленного предмета.Сигнал, отраженный от поверхности и регистрируемый приемником
Найдем регистрируемый приемником сигнал, который получается в результате отражения от поверхности раздела. Для этого сначала запишем выражение для спектра плоских волн после отражения от поверхности раздела, которое будет произведением (1) и коэффициента отражения Френеля
. (18)Спектру (18) соответствует связанное с ним обратным преобразованием Фурье распределение комплексной амплитуды поля
(19)Комплексный выход антенны будет найден интегрированием (19) по апертуре антенны
.(20)Выполняя подстановку (18) и (19) в (20), осуществляя интегрирование, получается следующее выражение для комплексного выхода антенны, обусловленного отражением от поверхности раздела
.(21)В полученном выражении комплексное число
, как и следовало ожидать, не зависит от координат центра апертуры. Величина зависит от комплексной диэлектрической проницаемости нижнего полупространства через коэффициент отражения Френеля и является постоянным слагаемым, которое, наряду с опорным сигналом от передатчика к приемнику, добавляется к сигналу, регистрируемому радиолокатором после отражения от рассеивателей, находящихся в нижнем полупространстве.Коэффициенты прохождения и отражения Френеля для плоской волны
Найдем коэффициенты Френеля для отражения и прохождения плоской волны, задаваемой уравнением
, (22)в котором величины
, 
и 
в общем случае могут быть комплексными и не иметь смысла проекций волнового вектора 
на оси координат. В таком случае уравнение (22) будет описывать как однородную, так и неоднородную волну, в которой направление убывания амплитуды и направление распространения могут не совпадать [10]. Подстановка (22) в уравнение Гельмгольца, записанного для однородной среды вне области, занятой источниками 
, (23)в котором
, (24)позволяет получить условие, которое должно выполняться для величин
, 
и в общем случае 
. (25)В предыдущих параграфах, плоская волна и соответствующие ей коэффициенты отражения и преломления характеризовались парой чисел
и , а не с помощью угла падения или скольжения, поскольку для удобства последующих расчетов, с применением быстрого алгоритма преобразования Фурье, удобно поступить именно так. Найдем соответствующие коэффициенты отражения и преломления как функции и , т.е. именно в таком виде, в котором они фигурируют в формулах из предыдущих параграфов.Рис. 2. К выводу френелевских коэффициентов отражения и прохождения для однородных и неоднородных плоских волн.
Пусть на поверхность раздела падает плоская волна, задаваемая уравнением (23) (рис. 2). Решение задачи будем искать в виде трех волн: падающей и отраженной в верхнем полупространстве и преломленной в нижнем полупространстве, причем отраженную и преломленную плоские волны запишем в виде
, (26)