Разработка математической модели электронного устройства (стр. 2 из 3)
A0 = 1; A1 = 60 (Ом×Ф); A2 = 400 (Ом×Ф) 2
Составляем строки для подпрограммы:
500 F (1) =H*y2
510 F (2) =H*Y (3)
520 F (3) =H* (-A0/A2Y ())
Осуществляем запуск программы RUNKUT. BAS (приложение 2), в режиме диалога вводим следующие значения:
МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ N УРАВНЕНИЙ
НАЧ. И КОН. ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА (X,XK)? 0,50
КОЛИЧЕСТВО ФУНКЦИЙ N? 2
ВВЕДИ КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК М? 1500
ЧЕРЕЗ СКОЛЬКО ТОЧЕК ВЫВОДИТЬ НА ЭКРАН?? 150
НАЧ. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Y (1) =? 0
Y (2) =? 0
В результате получаем решение (приложение 3, а).
Определим длительность переходного процесса, как
, где rmin - минимальный корень соответствующего характеристического уравнения, которое мы получим, если приравняем левую часть нашего неоднородного дифференциального уравнения к нулю, если корни действительные и вещественная часть корня, если корни комплексные.Соответственное характеристическое уравнение имеет вид:
Корни этого уравнения будем искать по формуле:
Где:A0 = 1; A1 = 60; A2 = 400
То есть:
То есть время переходного процесса:
Увеличиваем емкость С в 5 раз: R = 100 Ом; С = 0,5 Ф.
Тогда коэффициенты в матрице будут иметь следующие значения:
A0 = 1; A1 = 300 (Ом×Ф); A2 = 10000 (Ом×Ф) 2
Составляем строки для подпрограммы:
500 F (1) =H* (-1/10000*Y (1) - 300/10000*Y (2) +1/10000)
510 F (2) =H*Y (2)
Осуществляем запуск программы RUNKUT. BAS (приложение 2), в режиме диалога вводим следующие значения:
МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ N УРАВНЕНИЙ
НАЧ. И КОН. ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА (X,XK)? 0, 200
КОЛИЧЕСТВО ФУНКЦИЙ N? 2
ВВЕДИ КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК М? 1500
ЧЕРЕЗ СКОЛЬКО ТОЧЕК ВЫВОДИТЬ НА ЭКРАН?? 150
НАЧ. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Y (1) =? 0
Y (2) =? 0
В результате получаем решение (приложение 3, б).
Найдем время переходного процесса при этих параметрах.
Где
A0 = 1; A1 = 300; A2 = 10000
Время переходного процесса:
2.2 Составление математической модели с помощью матрично-векторного метода
Для автоматизации анализа переходных процессов наибольшее распространение получили матричные методы контурных токов и узловых потенциалов.
Метод контурных токов
 |
На рисунке 3.1 показана принципиальная схема устройства.
Рисунок 3.1 - Структурная схема устройства
Для анализируемой схемы составим матрицу сопротивлений по следующему правилу:
1) Диагональные элементы матрицы положительны и равны сумме сопротивлений, входящих в данный контур.
2) Внедиагональные элементы Zijотрицательны, сопротивления внедиагональных элементов равны сопротивлениям общих элементов для контуров с номерами ij. Кроме того Zij=Zji.
3) Исходная матрица сопротивлений является симметричной относительно главной диагонали.
4) Элемент Ei вектора напряжений с номером i равен сумме напряжений независимых источников, входящих в i-й контур.
Составляем матрицу сопротивлений для данной схемы:
Так как данная матрица даёт нам дифференциальные уравнения, содержащие интегралы, то нам необходимо избавиться от знаменателя, для этого воспользуемся компонентными уравнениями:
Пополним исходную систему по методу контурных токов вышеприведенными компонентными уравнениями. Запишем результирующую матрицу, дополненную компонентными уравнениями:
Разделяем матрицу на две части: содержащие множитель p составляющие оставляем в левой части, а составляющие без множителя p переносим в правую часть:
Запишем первые 3 строки матрицы в виде системы уравнений для выражения токов через напряжения без производных:
, Откуда 
Перепишем 3последние строки матрицы в виде системы уравнений:
Подставляя значения токов в уравнения предыдущей системы, получаем систему дифференциальных уравнений:
Нам необходимо исследовать характер изменения величины выходного напряжения Uвых. Анализируя схему (рис.3.1), можно записать:
Для анализа системы зададимся следующими значениями сопротивления и ёмкости: R= 100 Ом; С = 0,1 Ф.
Составляем строки для подпрограммы:
500 F (1) =H/0,2* (-Y (1) +Y (2))
510 F (2) =H/0,2* (1+Y (1) - 2*Y (2))
Осуществляем запуск программы RUNKUT. BAS (приложение 2), в режиме диалога вводим следующие значения:
МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ N УРАВНЕНИЙ
НАЧ. И КОН. ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА (X,XK)? 0,250
КОЛИЧЕСТВО ФУНКЦИЙ N? 2
ВВЕДИ КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК М? 1500
ЧЕРЕЗ СКОЛЬКО ТОЧЕК ВЫВОДИТЬ НА ЭКРАН?? 150
НАЧ. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Y (1) =? 0
Y (2) =? 0
В результате получаем решение (приложение 4).
3. Разработка алгоритма и программ модели
Для численной реализации полученных результатов необходимо решить систему дифференциальных уравнений первого порядка. В ручную это делать очень неудобно и долго, для этого целесообразно написать программу, которая выдавала бы решение в численном и графическом виде. Современная компьютерная база позволяет сделать это.
Прежде всего, определимся с методом решения. Выберем один из методов Рунге - Кутта. Разные представители этой категории методов требуют большего или меньшего объема вычислений соответственно обеспечивают большую или меньшую точность. Эти методы имеют рад важных преимуществ:
Являются явными, одноступенчатыми, т.е. значение
вычисляется по ранее найденным значениям 
.Допускают использование изменяемого шага, что дает возможность уменьшать его там, где функция быстро изменяется, и увеличивать в противоположном случае.
Легки в использовании, потому что для начала расчета достаточно выбрать сетку
и задать значение 
.Согласуются с рядом Тейлора включительно до членов порядка
, где степень p неодинакова для разных методов и называется порядком метода.Не требуют вычисления производных от
, а требуют лишь вычисления самой функции.Если
непрерывна и ограничена вместе со своими четвертыми производными, то хорошие результаты дает метод четвертого порядка. Он описывается системой следующих соотношений: 
( 
); 
Алгоритм метода Рунге - Кутта:
Выбираем начальный шаг h на отрезке [a,b], задаем точность ε.
Создаем множество равноудаленных точек (узлов)
Находим решение yi+1по формулам при шаге h и при шаге h/2, 0 ≤ i ≤ n-1.
Проверяем неравенство
.Если это неравенство выполняется, то принимаем
и продолжаем вычисление 
с тем же шагом, если нет, то уменьшаем начальный шаг h в 2 раза и переходим к пункту 3.