Виконання операцій множення і ділення у двійковій системі числення (стр. 5 из 9)

0

- якщо дана група розрядів містить 11 і нема одиниці з попередньої групи або якщо дана група містить 10 і є одиниця з попередньої групи.

Із сказаного випливають правила перетворенням множнику, починаючи з молодших груп розрядів, що наведені в табл. 3.14. Тут

- цифри даної групи розрядів; - цифра, що передається з попередньої групи; - перетворені цифри даної групи; - цифра, що передається в наступну групу.

Таблиця 3.14 - Правила перетворенням множнику, починаючи з молодших груп розрядів

0 0	0	0 0	0	0 0	1	0 1	0
0 1	0	0 1	0	0 1	1	1 0	0
1 0	0	1 0	0	1 0	1	0	1
1 1	0	0	1	1 1	1	0 0	1

Застосовуючи ці правила необхідно враховувати, що старша значуща цифра перетвореного множника може знаходитися в розряді цілих, де неперетворений множник містить завжди нуль.

Приклад 3.12. Використовуючи групування розрядів, виконати перетворення множнику 001011111001100111, починаючи з молодших розрядів.

Розв'язання. Діючи за правилами, що наведені в табл. 3.14, одержимо

0 0	1 0	1 1	1 1	1 0	0 1	1 0	0 1	1 1
+1	+1	+1	+0	+0	+0	+0	+1
0 1	0	0 0	0	1 0	0 1	1 0	1 0	0

Замість 11 одиниць у вихідному представленні множника одержуємо 8 додатних і від'ємних одиниць у перетвореному.

Відповідь: 010

000 100110100 .

Коли одразу аналізуються два розряди перетвореного множнику, то в процесі множення виконуються такі дії.

Якщо група містить комбінацію 00, то це означає, що протягом двох найближчих циклів множення не потрібно буде виконувати ні додавань, ні віднімань; при наявності комбінації 01 потрібно буде виконати одне додавання в першому з двох найближчих циклів множення, а у разі комбінації 10 - у другому. Коли група містить комбінацію 0

, то буде потрібно виконати одне віднімання в першому з двох найближчих циклів множення.

У разі одночасного аналізу двох розрядів, починаючи зі старших, у правилах перетворення груп розрядів (табл. 3.15) враховується значення сусіднього розряду, що розташований праворуч від групи, яка аналізується. При цьому аналіз розрядів множника завжди починається з пустої групи, що дописується ліворуч від найстаршого розряду.

Приклад 3.13. Використовуючи групування розрядів, виконати перетворення множнику 001011111001100111, починаючи зі старших розрядів.

Розв'язання. Діючи за правилами, що наведені в табл. 3.15, одержимо

Замість 11 одиниць у вихідному представленні множника одержуємо 7 додатних і від'ємних одиниць у перетвореному.

Відповідь: 010

0000 010 0100 .

Той чи інший метод перетворення тим ефективніше, чим менше в перетвореному множнику середня кількість додатних і від'ємних одиниць, тобто чим менше в середньому потрібно додавань і віднімань. Важлива також максимальна кількість додавань і віднімань, що можуть виконуватись під час множення.

Таблиця 3.15 - Правила перетворення множнику, починаючи зі старших груп розрядів

0 0	0	0 0	0 0	1	0 1
0 1	0	0 1	0 1	1	1 0
1 0	0	0	1 0	1	0
1 1	0	0	1 1	1	0 0

Для оцінки ефективності описаного вище методу групування розрядів відзначимо насамперед, що для будь-якої комбінації цифр протягом двох циклів множення може бути не більш одного додавання або віднімання. Таким чином, в гіршому випадку кількість додавань-віднімань дорівнює 0,5п.

Середня кількість додавань-віднімань дорівнює 0,375п. З урахуванням цього середній час множення складає:

- для першого і другого методів множення

;

- для третього і четвертого методів множення

.

Метод множення з послідовним перетворенням цифр множника передбачає послідовний аналіз цифр множника без розбиття на групи. При цьому використовується такі правила перетворення:

- якщо дана цифра неперетвореного множника не збігається із сусідньою праворуч цифрою, сусідня ліворуч цифра є 0 і попередня цифра перетвореного множника є 0, то даний розряд у перетвореному множнику є 1;

- якщо дана цифра неперетвореного множника не збігається із сусідньою праворуч цифрою, сусідня ліворуч цифра є 1 і попередня цифра перетвореного множника є 0, то даний розряд перетвореного множника повинний містити

;

- якщо дана цифра неперетвореного множника збігається із сусідньої праворуч цифрою або якщо попередня цифра перетвореного множника не є нулем, то даний розряд у перетвореному множнику є 0.

Застосовуючи ці правила необхідно враховувати, що старша значуща цифра перетвореного множника може знаходитися в розряді цілих; праворуч і ліворуч від значущих розрядів перетвореного множника завжди передбачаються нулі. Коли в приведеному правилі говориться про "попередні" цифри перетвореного множника, то стосовно до множення від молодших розрядів це відноситься до попередньої молодшої цифри перетвореного множника, а стосовно до множення від старших - до старшої попередньої цифри.

Описане послідовне перетворення розрядів множнику забезпечує під час множення в середньому 0,333п додавань-віднімань. Це найкращий результат, що може бути отриманий для логічних методів прискорення множення.

У здійсненні метод послідовних перетворень ненабагато складніше, ніж метод групування розрядів множника, ефективність же його вище.

При цьому виникають визначеної довжини послідовності чи нулів одиниць, що приводить до необхідності одночасного аналізу декількох розрядів множника і зрушенню на довільне число розрядів.

3.3.3. Апаратні методи прискорення операції множення в двійковій системі числення

Спочатку розглянемо апаратні методі прискорення операції множення першого порядку.

1. Метод множення з перетворенням цифр множнику групування розрядiв і використанням кратних множеного.

Практично використовують розбиття на групи з чотирьох розрядів, що рівносильне переходу до шестнадцаткової системи числення. При цьому розглядається чергова цифра (тетрада) множника і його попередня цифра (тетрада). В залежності від значень цифри множнику в попередньому розряді виконуються різні дії (табл.3.16). Для реалізації такого множення потрібно попередньо сформувати кратні множеного: А, 2А, 3А і 6А.