Основы теории цепей (стр. 2 из 2)
3. Алгебра комплексных чисел
Комплексным числом называют пару чисел, изображающих вектор на комплексной плоскости. Будем изображать комплексное число заглавной буквой с чертой внизу (
). Вводится мнимая единица: 
Комплексное число может быть представлено в разных формах:
– показательная форма:
- это вектор на комплексной плоскости, где 
- длина (модуль) вектора, 
- аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления вещественной оси;– алгебраическая форма:
– это точка на комплексной плоскости, где 
- координаты по вещественной и мнимой осям, причем: 
, 
, 
, если 
, = 
, если 
< 
.Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:
.Складывать комплексные числа предпочтительно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма:
Вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого):
Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:
; 
.Комплексные числа, не зависящие от времени, обозначают заглавными буквами с чертой внизу:
, а комплексно сопряженные им числа обозначают еще и звездочкой сверху 
: это числа, у которых та же вещественная часть, а мнимая с обратным знаком.Комплексные числа, которые являются функциями времени, обозначают заглавными буквами с точкой сверху:
, а комплексно сопряженные им числа обозначают заглавными буквами со звездочкой сверху 
: это числа, у которых тот же модуль, но фаза с обратным знаком.Так как
, то умножить комплексное число на j это значит, не изменяя его модуля, увеличить фазу на 900 или повернуть соответствующий вектор на 900 против часовой стрелки. Разделить на j - наоборот: 
.4. Символический метод
Пусть есть комплексное число с линейно изменяющимся во времени аргументом:
. На комплексной плоскости это число представляет неизменный по длине вектор, вращающийся против часовой стрелки с постоянной скоростью w. 
Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.
Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:
Вводят специальное обозначение (символы):
- комплекс амплитудного значения тока или 
- комплекс амплитудного значения напряжения. Они содержат информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидального колебания.Комплекс амплитудного значения деленный на
, дает комплекс действующего значения: 
и 
.Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:
; 
.5. Законы цепей в символической форме
1. Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.
.Подставим вместо каждого мгновенного значения тока его представление в виде комплекса амплитудного значения, тогда
.Так как в любой момент времени нулю равна сумма проекций вращающихся векторов, следовательно, нулю должна равняться сумма самих вращающихся векторов, т.е. получим
. Так как 
, то сократим на нее и получим 
.Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.
Поделив на
, получим первый закон Кирхгофа для комплексов действующих значений. 
2. Второй закон Кирхгофа
После аналогичных преобразований получим:
или 
.Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура.
Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются.
Список литературы
1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.
2. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)
3. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н. Зуб, С.М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.
4. Теоретические основы электротехники. / Г.И. Атабеков, С.Д. Купалян, А.В. Тимофеев, С.С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.
5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.