Основы радиосвязи (стр. 8 из 12)
Полагаем, что потенциал в сечении А равен φ
, а в сечении В φ2. Линию считаем не имеющей потерь, обладающей погонной индуктивностью L1 и погонной емкостью С1 (L1, C1-это соответственно индуктивность и емкость линии длиною 1м). 
Воспользуемся интегральной записью II уравнения Максвелла
где магнитный поток представим в виде
(2.21)L - индуктивность отрезка линии длиной
(2.22)Контур интегрирования 1-2-3-4 изображён на рис.2.8. Итак, с учётом (2.21)
Поскольку скалярное произведение векторов
= 
, где 
-угол между векторами 
, то 
Учитывая связь напряженности электрического поля Е с потенциалом φ, запишем
В результате, принимая во внимание (2.22), получим
или, обозначив
φ2-φ1=
В пределе при
окончательно запишем 
(2.23)Переход от
к 
.Воспользуемся определением силы тока
(2.24)где q-заряд,
q=CU, C=C1
.Связь сила тока I с плотностью тока
определяется следующим соотношением 
(2.25)Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндрическую поверхность, охватывающую внутренний проводник коаксиальной линии (рис.2.9)
Тогда
(интеграл по боковой поверхности равен 0).Из (2.21) получаем
Окончательно при переходе к пределу при z
имеем 
(2.26)Уравнения (2.23) и (2.26) называют телеграфными. Их решение дает возможность найти ток I и напряжение U как функции времени и координаты Х.
2.10 Решение телеграфных уравнений.
Продифференцировав уравнения (2.23) по координате, а уравнение (2.26) по времени и исключив ток I, получим волновое уравнение для напряжения U:
(2.27)Будем полагать для простоты, что к линии подводятся колебания одной частоты
. Тогда решение выражения (2.27) может быть записано в виде монохроматических волн 
(2.28)где первое слагаемое представляет собой волну, бегущую по линии в положительном направлении оси Х, её называют падающей. Второе слагаемое описывает отражённую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси Х.
В решении (2.28)
- комплексные амплитуды падающей и отраженной волн, 
- постоянная распространения
-скорость волны в линии 
Волновое уравнение может быть записано и для тока
его решение имеет вид
Как было отмечено в разделе 1.7, монохроматические волны удобно представлять в виде комплексных амплитуд
Связь между
и 
можно получить, подставив в первое телеграфное уравнение (2.23) мгновенные значения напряжения и тока в линии.В результате будем иметь
(2.29) 
- волновое сопротивление линии.Аналогично можно найти связь
с 
: 
(2.30)2.11 Режимы работы линий передачи
Допустим к входу линии передачи длиною
подключен источник гармонического напряжения частотой , амплитудой , а в конце линии имеется нагрузка сопротивлением zн (рис.2.9). 
Режим бегущей волны
Если в линии отсутствует отраженная волна, то имеем режим бегущей волны
Как видим, в любом сечении z линии передачи имеются колебания напряжения U(t) с одинаковой амплитудой Uпад и колебания тока I(t) с не изменяющейся амплитудой Iпад
Мгновенная фаза колебаний
зависит от координаты.
Особенностью режима бегущей волны является постоянство сопротивления линии при любых х:
Получим выражение для средней по времени мощности колебаний в режиме бегущей волны:
(2.31)Мгновенные значения напряжения и тока в линии
Подставив эти выражения в (2.31), получим
.Режим стоячих волн.
Допустим, в линии имеется отраженная волна, амплитуда которой равна амплитуде падающей волны
В этом случае напряжение в линии
После некоторых преобразований получим
(2.32)Как видим, в этом случае колебания напряжения в линии происходят синфазно, независимо от координаты х. Амплитуда колебаний изменяется вдоль линии по закону косинуса (рис.2.10)
где
- длина волны в линии.Можно получить аналогичные выражения для тока в линии
или
(2.33)Амплитуда колебаний тока также меняется в зависимости от х (рис.2.10).
Распределение амплитуд U и I о линии изображено на рис. 2.10
Нетрудно заметить, что имеются ечения в линии, где амплитуда колебаний максимальна, она в 2 раз больше амплитуды источника. Эти сечения называются пучностями. В других сечениях колебания отсутствуют, это - узлы. Пучности (а также узлы) отстают друг от друга на расстояние , равное
, где -длина волны в линии.