Несимметричная многомаркерная кольцевая локальная сеть с буферами конечной емкости и ординарной дисциплиной обслуживания (стр. 4 из 6)

Обозначим через

- вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.

Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:

=

=

, i {1,2,…, N}

Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети.

Теорема. Стационарные вероятности рассматриваемой КЛВС вычисляются из соотношений:

P(

)=P( ) A( ; )

(1)

где А -

матрица вероятностей переходов из i-того периодического класса в состояние (i+1) – го класса, элементы которой вычисляются по формуле:

a(

)= + + , времена вычисляются по следующим формулам:

а также вероятность перехода равна нулю, если:

1)

>0 , Q={1,2,3,…, N}

2)

Доказательство:

P(

) – вектор-строка вероятностей состояний i-того периодического класса; матрица А размерности , элементами которой являются вероятности переходов из i-того периодического класса в (i+1) – ый.

Вследствие периодичности цепи Маркова

если либо (i, j) (N, 1). Из этих рассуждений имеем Р(1)=Р(N)

Р(J)=P(J-1)

J {2,3,…, N}, J определяет периодический класс.

J определяет те, станции на которых находятся маркеры в данном периодическом классе, с учетом постановки математической модели любой маркер может переходить только на соседнюю станцию. Это и обуславливает то, что маркер с N-ной станции переходит на первую АС.

Таким образом, учитывая условие нормировки, имеем процедуру (1) определения векторов стационарных вероятностей КЛВС.

Доказано.

Для обоснования правильности формул времени необходимо учитывать следующие положения:

1) если поступает сообщение, а соответствующий буфер занят полностью, то сообщение теряется, и при подсчете поступивших сообщений оно не учитывается;

2) если сообщение не передается, то из данного буфера оно никуда не может исчезнуть, поэтому если при переходе из некоторого состояния в соседнее какое-то сообщение теряется, то вероятность данного перехода равна 0;

3) при передаче сообщения из АС, на которой есть маркер, буфер данной станции блокируется;

4) со станции с маркером может передаваться не более одного сообщения.

5) на тех станциях, на которых нет маркеров, может быть вероятность равна единице в том случае, если в i-том периодическом классе и в (i+1) – вом буфер станции был полностью занят.

2.2

Определение стационарных вероятностей состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами

, с 3 АС и 2-мя маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Будем рассматривать поведение КЛВС в моменты поступления маркеров на АС. В этом случае изменение состояний КЛВС образуют конечную цепь Маркова.

Под состоянием КЛВС будем понимать состояние всех АС кольца в момент поступления на них маркеров. Каждая АС может находиться всегда в одном из

состоянии.

Все состояния КЛВС делятся на 3 периодических классов, каждый из которых содержит в рассматриваемом случае 12 состояний.

Особенности протокола приводят к тому, что указанная цепь Маркова является неприводимой, периодической с периодом, равным 3.

Некоторый j-тый класс (j

{1,2,3}) соответствует поступлению некоторого фиксированного маркера на j-тую АС. Вероятности переходов из j-того периодического класса в (j+1) – ый образуют матрицу.

Закодируем состояния КЛВС парами чисел (i, r), i=(

), 0 11. Здесь i определяет класс состояний, т.е. равно номерам тех станций, на которых находятся маркера, r определяет номер состояния.

Введем обозначение M=(

) – множество номеров тех станций, на которых находятся маркера, R=( ), , l {1,2,3}, - обозначает количество сообщений на l-той АС. Также обозначим через P( ) – вектор-строку вероятностей состояний КЛВС.

Обозначим через

- вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.

Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:

=

=

, i {1,2,3}

Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети, которая является частным случаем теоремы из пункта 2.1: стационарные вероятности рассматриваемой КЛВС вычисляются из соотношений: