Теория оптимального приема сигналов (стр. 2 из 4)
2 Оптимальный когерентный прием дискретных сигналов и его помехоустойчивость
В задаче распознавания сигналов, не содержащих случайных параметров(т.е. точно известных), «причинами» являются поступающие на вход сигналы
, вероятности которых равны, очевидно, вероятности появления соответствующих элементов 
. «Следствиями» являются реализации суммы сигнала и помехи.Количественно описание ситуации удобно производить с помощью рассмотрения векторов соответствующих колебаний. Вместо сигналов
будем оперировать однозначно соответствующими им векторами 
, а вместо реализаций y(t) – векторами 
, координаты которых определяются выражением, которое в нашем случае запишем так: 
(1)В соответствии с теоремой Байеса
(2)Как было отмечено, решение обычно выносится в пользу сигнала, имеющего наибольшую апостериорную вероятность. Так как знаменатель не зависит от номера I, то решающее правило(алгоритм решения) определяется так:
(3)Следует обратить внимание на то, что в этих выражениях
-- плотности вероятностей, так как компоненты вектора y, как видно из (1), являются непрерывными случайными величинами.В выражении (3) априорные вероятности
передачи элементов должны быть заданы. Следовательно, необходимо определить только правдоподобия . Это можно сделать исходя из того, что помеха аддитивна. Так как 
,то плотность вероятности некоторого значения вектора
равна плотности вероятности, что вектор помехи n примет значение 
. Отсюда следует, что если 
- известная нам плотность вероятности вектора помехи, то 
(4)Последний переход справедлив потому, что сигнал и помехи – независимые процессы.
Для дальнейшей конкретизации алгоритма необходимо задать определенный вид помехи. В большинстве случаев имеют место нормальные (гауссовские) или близкие к ним помехи. Вычисления в этом случае оказываются наиболее простыми. При гауссовских помехах каждая компонента вектора
распределена по нормальному закону 
(5)В ряде случаев, в частности, при равномерном распределении энергии помехи по полосе рассматриваемых частот, компоненты вектора
являются независимыми случайными величинами. Тогда, как известно, 
(6)При зависимых компонентах
выражение для 
существенно усложняется и этот случай здесь рассматривать не будем.Отметим, что
,т.е. является квадратом длины(нормы) вектора помехи.Следовательно,
(7)Отбросив множители, не зависящие от номера сигнала i, решающее правило(3) можно представить в виде
(8)Приемник, работающий по алгоритму(8), называется байесовским или приемником максимальной апостериорной вероятности. Если апостериорные вероятности элементов
одинаковы, то решающее правило упрощается: 
(9)Соответствующий приемник называется приемником максимального правдоподобия. Правило(9) раскрывает механизм работы оптимального приемника.
Получив вектор y, с помощью обработки реализации y(t) необходимо вычислить расстояние от его конца до концов векторов всех возможных сигналов
и вынести решение в пользу того сигнала, для которого величина 
будет минимальной, так как именно в этом случае функция (9) достигнет максимума. Коротко можно сказать, что оптимальный приемник выносит решение в пользу сигнала «ближайшего» к y(t).Выражение(9) достигает максимума при минимуме показателя экспоненты. Следовательно, правило (9) можно записать в ином виде:
или, учитывая векторное представление
(10)Здесь первый член в скобках не зависит от номера i. Последний член – есть энергия i-того сигнала. Если энергии всех сигналов одинаковы, что обычно имеет место, то этот член также не зависит от номера i. Таким образом, решающее правило можно записать так:
(11)Справедливость такого перехода обусловлена тем, что второй член в (10) имеет знак минус и выражение (10) минимизируется, если этот член достигает максимума. Выражение(11) уже позволяет определить структуру оптимального приемника. Однако удобнее это выражение представить в другом виде. Действительно, учтем, что
(12)Тогда окончательно получим
(13)Эта структура называется оптимальным корреляционным приемником, так как основная операция, лежащая в его основе, это операция корреляции y(t) со всеми возможными сигналами
.Из проведенного рассмотрения следует, что в состав оптимального приемника должны входить генераторы, вырабатывающие образцы сигналов
, тождественные тем, которые используются на передатчике. Кроме того, между работой генераторов передатчика и приемника должна соблюдаться синхронность и синфазность, т.е. обеспечиваться идеальная синхронизация.3 Оптимальный некогерентный прием дискретных сигналов и его помехоустойчивость
Ранее было показано, что если импульсный отклик линии представляет собой
-функцию, то такая линия только ослабляет передаваемый сигнал, не изменяя его формы. Пусть ослабление сигнала а — медленно изменяющаяся случайная величина, практически постоянная на интервалах длительностью Тс. Если бы а была постоянной и известной величиной, то осуществлялся бы прием точно известных сигналов с решающим правилом 
(1)При случайном значении а следует усреднить результат по закону распределения р(а); тогда при равновероятностных сигналах решающее правило примет вид
(2)Из соотношения (2) следует, что при таком подходе структура оптимального приемника останется прежней (инвариантной к случайным значениям а). Вероятность же ошибок (при прочих равных условиях) возрастает. При случайном значении а эти выражения необходимо усреднить по р(а). В частности, для противоположных сигналов усредненное значение вероятности ошибки Р0ш должно определяться в соответствии с выражением
(3)Для распределения р(а), подчиняющегося закону Рэлея можно показать, что
(4)где
. Нетрудно видеть, что при одинаковых значениях а вероятность ошибок, рассчитанная по формуле (4), значительно превышает вероятность ошибок. Физическая причина увеличения вероятности ошибок ясна: возрастание а приводит к некоторому уменьшению вероятности ошибок, однако падение а приводит к значительному возрастанию этой вероятности вследствие отмеченного выше «порогового эффекта».Рассмотрим далее случай, когда линия вносит в сигналы только случайный сдвиг начальной фазы, имеющий место в подавляющем большинстве реальных ситуаций. При этом, если