Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами (стр. 2 из 4)

i_2св=А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.6)

i₂=1.94+ А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.7)

3 этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

Найдём ток i₂ для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

i₂₍₊₀₎=i_2вын(+0)+ А₁+А₂

-477 А₁-1162 А₂

Из уравнения (2) найдём

для момента времени t+0

(3.8)

Из уравнения (3) выразим i₁ для момента времени t+0 при U_c=i₂R₂

i₁=

(3.9)

Найдём

подставив значение i₁ из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)

(4.0)

Подставим значение

, i₂₍₊₀₎, i_2вын в систему и найдём коэффициенты А₁ и А₂

1,52=1,94+ А₁ + А₂ (4.1)

2=-477 А₁-1162 А₂ (4.2)

Из уравнения (4.1) выразим A₁ и подставим в (4.2)

А₁=-0,42-А₂

2=-477(-0,42-А₂)-1162А₂ (4.3)

Из уравнения (4.3) найдём А₂

2=200,34+477А₂-1162А₂

2=200,34-685А₂

А₂=

А₁=-0,42-0,29=-0,71

Подставим найденные коэффициенты А₁ и А₂ в уравнение (3.7)

i₂=1,94-0,71е^-477t+0,29е^-1162t (А)

4 этап

Определяем остальные переменные цепи U_L, U_c, i_c, i₁

U_L=

(В)

U_c=

+i₂R₂=

=

(В)

i_c=

(А)

i₁=i_c+i₂=(0,044е^-477t+0,014е^-1162t)+( 1,94-0,71е^-477t+0,29е^-1162t) =

=1,94-0,666е^-477t+0,304е^-1162t (А)

Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определим по формуле:

t_nn=

Найдём t_пп время переходного процесса

t_пп=

(с)

Таблица переменных

Время переходного процесса tnn (c)	Значение токаi1(A)	Значение токаi2(A)	Значение токаic(A)	Значение напряженияUL(B)	Значение напряженияUC(B)
0.000	1.578	1.520	0.058	0.20	15.22
0.001	1.622	1.590	0.032	10.49	16.95
0.002	1.713	1.695	0.018	9.75	17.92
0.003	1.790	1.779	0.011	7.07	18.50
0.004	1.844	1.837	0.006	4.70	18.84
0.005	1.879	1.875	0.004	3.02	19.06
0.006	1.902	1.899	0.0025	1.90	19.19
0.0063	1.907	1.905	0.0022	1.65	19.21

Рисунок 3 - График токов

где

i₁ i₂ i_c

Рисунок 4 – График напряжений

где

U_LU_C

2 этап курсовой работы

2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:

e(t)=E_msin(wt+j)

R₁

где E_m=100 (B)

w=2pf

=2 3,14 50=314 (Гц)

j=30⁰

R₁=R₂=10 (Ом) L=100 (мГн)

R₃=9 (Ом) С=100 (мкФ)

w=314 (Гц)

X_L=wL=314^. 0,1=31,4 (Ом)

X_C=

(Ом)

Найдём начальные условие:

U(t)=U_msin(wt+j)=100sin(314+30);

U_m=100e^j30=86,603+j50 (В)

U_C(-0)=0 (B)

Найдём полное сопротивление цепи

Z_п=R₁+R₃+jX_L=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)

Зная сопротивление и напряжение найдём I_3m

I_3m=I_1m=

(А)

Найдём мгновенное значение тока

i₃(t)=I_3msin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)

Для времени t=0 ток будет равен

i_3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

Таким образом

U_C(-0)=U_C(+0)=0 (B)

i_3(-0)= i₃₍₊₀₎=-1.314 (A)

1 этап

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i₃=0 (1^/)

i₁^.R₁+ i₃^.R₃+L

=U(t) (2^/)

i₁^.R₁+i₂^.R₂+U_c=U(t) (3^/)

Из (2^/) уравнения выразим i₁

i₁=

(2^/.1)

i₁ из уравнения (2^/.1) подставим в (1^/) и выразим i₂

i₂=

(1^/.1)

U(t)=U(t)-i₃^.R₃-L

+R2

-

(3.1)

Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(3.2)

2 этап

Вид решения для i_3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i_3св не зависит от входного напряжения.

Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:

i_3св=А₁е^-406t+А₂е^-234t

Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i_3вын

i_3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);

Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I₁, а для этого найдём Z_{п вын} сопротивление цепи:

Z_пвын=

(Ом)

I_1m=

(A)

Найдём U_{ab вын}

U_{ab m}= I_1m

(В)

I_{3 m}=

(A)

Найдём i_{3 вын}

I_{3 вын}= I_{3 m}sin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60) (A)

Таким образом

i₃=2.607sin(314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

3^/ этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1^/ этапе.

i₃=2.607sin(314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

i₃₍₊₀₎=i_3(-0)=-1.314 (A)

i₃₍₊₀₎=2.607sin(-43.60)+A₁+A₂=-1.798+A₁+A₂

R₁i₁=U(t)-R₂i₂-U_C