Отношение правдоподобия. Алгоритм обработки

Принятый одиночный сигнал можно рассматривать как функцию времени с известным законом модуляции, но неизвестными параметрами - временем запаздывания tr, доплеровским сдвигом частоты Fдс, амплитудой Ес и фазой φс. Неопределённость относительно времени запаздывания и доплеровского сдвига частоты заставляет просматривать (одновременно или последовательно) все элементы разрешения по trи Fдс и принимать решения по каждому из них. Амплитуду и фазу принятого сигнала следует считать случайными, но постоянными на интервале, равном длительности сигнала T0. поскольку длительность одиночного сигнала, как правило, значительно меньше времени корреляции амплитудных и фазовых Флуктуации принятого сигнала (T0 << τc).

Представим одиночный сигнал в следующем вице:

Помеху будем считать стационарным нормальным случайным процессом с комплексной огибающей N(t)

n(t) = N(t) exp(iω0t),

с нулевым средним значением

Учитывая особенность задачи обработки одиночных сигналов как задачи внутрипериодной обработки, можно воспользоваться единым представлением шумов и мешающих отражений, так как внутрипериодная структура мешающих отражений аналогична структуре шума: ширина спектра внутрипериодной структуры мешающих отражений определяется шириной спектра модуляции зондирующего сигнала. Поэтому в первом приближении и шум, и мешающие отражения в рассматриваемой задаче можно считать белым шумом со спектральной плотностью соответственно:

- для шума,

- для мешающих отражений.

Значения сигнала и помехи в дискретные моменты времени tg = g∆t можно представить в виде

При этом корреляционные свойства дискретных значений помехи, мешающей обнаружению одиночного сигнала, описываются символом Кронекера:

Найдём отношение правдоподобия, определяющее структуру устройства оптимальной обработки одиночного сигнала. Многомерная плотность вероятности дискретных значений входного сигнала fg, в отсутствие полезного сигнала (fg = ng) определяется выражением

где L = T0/∆t - число дискретных значений за длительность одиночного сигнала.

При наличии полезного сигнала дискретные значения входного сигнала f(t) равны:

fg = mg + ng.

Учитывая, что полезный сигнал за время, равное его длительности, является известной функцией времени с постоянной амплитудой и фазой, можно утверждать, что наличие сигнала приводит лишь к смещению распределения величин fgпо сравнению со случаем, когда действует одна помеха, поскольку в этом случае ng = fg – mg:

Отношение правдоподобия принимает следующий вид:

где

Величина R(Ec) от входного сигнала, т.е. от входной последовательности fgне зависит. Поэтому решение о наличии или отсутствии полезного сигнала можно принимать по величине Q(Ec, φc), зависящей от входного сигнала и монотонно связанной с отношением правдоподобия:

Последнее выражение может служить алгоритмом обработки одиночного сигнала известной формы на фоне белого шума, из которого следует, что такая обработка в своей существенной части сводится к линейной обработке - весовому суммированию дискретных значений входного сигнала fg, причём весовые коэффициенты mg = m(tg) определяются прообразом ожидаемого сигнала в анализируемом элементе разрешения - его формой или законом модуляции U0(t), несущей частотой ω0, временем запаздывания tr, доплеровским смещением частоты Fдс, амплитудой Ecи начальной фазой φc. Ниже рассматриваются схемы корреляционных обнаружителей одиночного сигнала с различной степенью известности его параметров.

Схема корреляционного обнаружителя одиночного сигнала с полностью известными параметрами. Сжатие сигнала по спектру.

Переходя от дискретного к непрерывному времени, логарифм отношения правдоподобия можно представить в виде:

где

- корреляционный интеграл,

- опорный сигнал.

Решение о наличии сигнала можно принимать, формируя квадратурную составляющую корреляционного интеграла, монотонно связанную с отношением правдоподобия, и сравнивая ее с порогом:

Схема соответствующего корреляционного обнаружителя показана на рис.1.

Квадратурная составляющая корреляционного интеграла формируется путем скалярного перемножения принятого и опорного сигналов и последующего интегрирования этого произведения. Роль скалярного перемножителя выполняет фазовый детектор. Опорный сигнал формируется с учетом знания всех параметров принимаемого сигнала: закона модуляции, времени запаздывания, несущей частоты, ее доплеровского смещения, фазы, амплитуды.

На рис.2 показаны эпюры, поясняющие работу корреляционного обнаружителя (на примере пятиэлементного кода Баркера). После перемножения принятого и опорного сигналов происходит демодуляция полезного сигнала, т.е. устранение его внутриимпульсной фазовой или частотной модуляции:

На выходе фазового детектора формируется видеоимпульс, форма которого определяется квадратом амплитудного закона модуляции сигнала. Ширина спектра демодулированного сигнала становится обратно пропорциональной длительности сигнала ∆F = 1/T0 т.е. происходит сжатие сигнала по спектру, причём коэффициент сжатия оказывается равным базе сигнала:

Ксж = ∆f0/∆F = ∆f0T0

Рис.1. Корреляционный обнаружитель одиночного сигнала с полностью известными параметрами.

Рис.2. Пояснение работы корреляционного обнаружителя одиночного сигнала с полностью известными параметрами.

Напряжение на выходе интегратора в течение длительности сигнала увеличивается: идёт процесс накопления энергии сигнала. В конце длительности сигнала, когда напряжение на выходе коррелятора (сочетание перемножителя и интегратора) достигает максимального уровня, должно осуществляться его сравнение с порогом и приниматься решение о наличии или отсутствии сигнала. Следует заметить, что управление порогом Х* при изменении энергии сигнала Эс и спектральной плотности помехи Nо осуществляется так, что при соответствующих изменениях условных вероятностей D и F обеспечивается их максимальная взвешенная ревность D - l0 F, а следовательно минимальный средний риск R.

Схемы корреляционных обнаружителей одиночного сигнала с неизвестной начальной фазой.

Описанная выше схема корреляционного обнаружителя одиночного сигнала с полностью известными параметрами имеет лишь теоретическое значение. В действительности амплитуда и фаза принятого сигнала априорно неизвестны. В связи с этим найдем усредненное по начальной фазе отношение правдоподобия, учитывая при этом, что начальная фаза равномерно распределена на интервале от - π до π радиан. Для этого вначале величину Q(Ec, φc), монотонно связанную с отношением правдоподобия, представим в виде, отражающем явную функциональную связь с начальной фазой принятого сигнала:

где

Усреднённое по начальной фазе принятого сигнала отношение правдоподобия приобретает вид:

где

- модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, являющаяся монотонно возрастающей функцией своего аргумента (рис.3).

Из полученного выражения следует, что решение о наличии сигнала может быть принято по величине Z, которая после перехода от дискретного времени к непрерывному оказывается квадратом модуля корреляционного интеграла

где

- опорный сигнал, амплитуда и фаза которого (Ег, φг) не связаны с амплитудой и фазой принятого сигнала (Ес, φс).

Существует два варианта схемной интерпретации математических операций над принятым сигналом f(t), содержащихся в полученном выражении.

Первый вариант сводится к корреляционной обработке на некоторой радиочастоте ωпр. Это означает, во-первых, смещение опорного сигнала по частоте на промежуточную частоту:

Корреляционный обнаружитель одиночных сигналов известной формы (стр. 1 из 2)

Отношение правдоподобия. Алгоритм обработки