Квадратурная амплитудная модуляция (стр. 4 из 5)
Отметим одну важную особенность принципа формирования дибитов. Значение каждого формируемого дибита зависит не только от входящего информационного бита, но и от двух предыдущих бит, значения которых хранятся в двух запоминающих ячейках. Действительно, если принято, что Ai — входящий бит, то значение элемента XOR 2 определится выражением
, а значение элемента XOR 3 — выражением 
. Таким образом, дибит формируется из пары битов, значение первого из которых равно 
, а второго – 
. Следовательно, значение дибита зависит от трех состояний: значения входного бита, значения первой запоминающей ячейки и значения второй запоминающей ячейки. Такие кодеры получили название сверточных кодеров на три состояния (K = 3) с выходной скоростью ½.Работу кодера удобно рассматривать на основе не временных диаграмм, а так называемой диаграммы состояния. Состояние кодера будем указывать с помощью двух значений — значения первой и второй запоминающих ячеек. К примеру, если первая ячейка хранит значение 1 (Q1=1), а вторая — 0 (Q2=0), то состояние кодера описывается значением 10. Всего возможно четыре различных состояния кодера: 00, 01, 10 и 11.
Пусть в некоторый момент времени состояние кодера равно 00. Нас интересует, каким станет состояние кодера в следующий момент времени и какой дибит будет при этом сформирован. Возможны два исхода в зависимости от того, какой бит поступит на вход кодера. Если на вход кодера поступит 0, то следующее состояние кодера также будет 00, если же поступит 1, то следующее состояние (то есть после сдвига) будет 10. Значение формируемых при этом дибитов рассчитывается по формулам
и 
. Если на вход кодера поступает 0, то будет сформирован дибит 00 ( 
), если же на вход поступает 1, то формируется дибит 11 ( 
). Приведенные рассуждения удобно представить наглядно с помощью диаграммы состояний (рис. 12), где в кружках обозначаются состояния кодера, а входящий бит и формируемый дибит пишутся через косую черту. Например, если входящий бит 1, а формируемый дибит 11, то записываем: 1/11. 
Рисунок 12
Продолжая аналогичные рассуждения для всех остальных возможных состояний кодера, легко построить полную диаграмму состояний, на основе которой легко вычисляется значение формируемого кодером дибита.
Используя диаграмму состояний кодера, несложно построить временную диаграмму переходов для уже рассмотренной нами входной последовательности бит 0101110010. Для этого строится таблица, в столбцах которой отмечаются возможные состояния кодера, а в строках — моменты времени. Возможные переходы между различными состояниями кодера отображаются стрелками (на основе полной диаграммы состояний кодера — рис. 13), над которыми обозначаются входной бит, соответствующий данному переходу, и соответствующий дибит. Например, для двух первых моментов времени диаграмма состояния кодера выглядит так, как показано на рис. 14. Красной стрелкой отображен переход, соответствующий рассматриваемой последовательности бит.
Рисунок 13 Рисунок 14
Продолжая отображать возможные и реальные переходы между различными состояниями кодера, соответствующие различным моментам времени (рис. 14, 15, 16), получим полную временную диаграмму состояний кодера (рис. 17).
Рисунок 15
Рисунок 16
Рисунок 17
Основным достоинством изложенного выше метода треллис-кодирования является его помехоустойчивость. Как будет показано в дальнейшем, благодаря избыточности кодирования (вспомним, что каждому информационному биту ставится в соответствие дибит, то есть избыточность кода равна 2) даже в случае возникновения ошибок приема (к примеру, вместо дибита 11 ошибочно принят дибит 10) исходная последовательность бит может быть безошибочно восстановлена.
Для восстановления исходной последовательности бит на стороне приемника используется декодер Витерби.
Декодер Витерби
Декодер Витерби в случае безошибочного приема всей последовательности дибитов 00 11 10 00 01 10 01 11 11 10 будет обладать информацией об этой последовательности, а также о строении кодера (то есть о его диаграмме состояний) и о его начальном состоянии (00). Исходя из этой информации он должен восстановить исходную последовательность бит. Рассмотрим, каким образом происходит восстановление исходной информации.
Зная начальное состояние кодера (00), а также возможные изменения этого состояния (00 и 10), построим временную диаграмму для первых двух моментов времени (рис. 17). На этой диаграмме из состояния 00 существует только два возможных пути, соответствующих различным входным дибитам. Поскольку входным дибитом декодера является 00, то, пользуясь диаграммой состояний кодера Треллиса, устанавливаем, что следующим состоянием кодера будет 00, что соответствует исходному биту 0.
Однако у нас нет 100% гарантии того, что принятый дибит 00 является правильным, поэтому не стоит пока отметать и второй возможный путь из состояния 00 в состояние 10, соответствующий дибиту 11 и исходному биту 1. Два пути, показанные на диаграмме, отличаются друг от друга так называемой метрикой ошибок, которая для каждого пути рассчитывается следующим образом. Для перехода, соответствующего принятому дибиту (то есть для перехода, который считается верным), метрика ошибок принимается равной нулю, а для остальных переходов она рассчитывается по количеству отличающихся битов в принятом дибите и дибите, отвечающем рассматриваемому переходу. Например, если принятый дибит 00, а дибит, отвечающий рассматриваемому переходу, равен 11, то метрика ошибок для этого перехода равна 2.
Для следующего момента времени, соответствующего принятому дибиту 11, возможными будут два начальных состояния кодера: 00 и 10, а конечных состояния будет четыре: 00, 01, 10 и 11 (рис. 18).
Рисунок 18
Соответственно для этих конечных состояний существует несколько возможных путей, отличающихся друг от друга метрикой ошибок. При расчете метрики ошибок необходимо учитывать метрику предыдущего состояния, то есть если для предыдущего момента времени метрика для состояния 10 была равной 2, то при переходе из этого состояния в состояние 01 метрика ошибок нового состояния (метрика всего пути) станет равной 2 + 1 = 3.
Для следующего момента времени, соответствующего принятому дибиту 10, отметим, что в состояния 00, 01 и 11 ведут по два пути (рис. 19).
Рисунок 19
В этом случае необходимо оставить только те переходы, которым отвечает меньшая метрика ошибок. Кроме того, поскольку переходы из состояния 11 в состояние 11 и в состояние 01 отбрасываются, переход из состояния 10 в состояние 11, отвечающий предыдущему моменту времени, не имеет продолжения, поэтому тоже может быть отброшен. Аналогично отбрасывается переход, отвечающий предыдущему моменту времени из состояния 00 в 00.
Продолжая подобные рассуждения, можно вычислить метрику всех возможных путей и изобразить все возможные пути.
При этом количество самих возможных путей оказывается не так велико, как может показаться, поскольку большинство из них отбрасываются в процессе построения, как не имеющие продолжения. К примеру, на шестом такте работы декодера по описанному алгоритму остается всего четыре возможных пути.
Аналогично и на последнем такте работы декодера имеется всего четыре возможных пути (рис. 20), причем истинный путь, однозначно восстанавливающий исходную последовательность битов 0101110010, соответствует метрике ошибок, равной 0.
Рисунок 20
При построении рассмотренных временных диаграмм удобно отображать метрику накопленных ошибок для различных состояний кодера в виде таблицы.
| Состояния кодера | T=0 | t=1 | t=2 | t=3 | t=4 | t=5 | t=6 | t=7 | t=8 | t=9 | t=10 |
| 00 | - | 0 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 0 | 2 | 3 |
| 01 | - | - | 3 | 0 | 3 | 2 | 2 | 0 | 3 | 3 | 0 |
| 10 | - | 2 | 0 | 3 | 0 | 3 | 3 | 3 | 2 | 0 | 3 |
| 11 | - | - | 3 | 2 | 3 | 0 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 |
Именно эта таблица и является источником той информации, на основе которой возможно восстановить исходную последовательность бит.