Исследование линейных и нелинейных систем управления (стр. 2 из 4)

2 Анализ переходных характеристик линейной САР

2.1 Оценка качества САР по каналу управляющего воздействия

По переходным характеристикам, полученным в пунктах 1.3-1.5 определим следующие показатели качества:

y_max1 – амплитуда первого максимума;

y_max2 – амплитуда второго максимума;

y_уст – установившееся значение;

σ – перерегулирование;

ε – статическое отклонение.

t_p – время регулирования;

t_n – время нарастания;

t_max – время достижения первого максимума;

æ – декремент затухания;

T – период колебаний;

ω – частота колебаний;

n – колебательность;

Таблица 1 – Показатели качества САР по каналу управляющего воздействия

Регуляторы	ymax1	ymax2	yуст	σ	ε	tp	tn	tmax	æ	T	ω	n
П	1.14	0.895	0.854	33.6	0.146	41.7	5.23	12.3	6.98	24.7	0.25	1.5
ПИ	1.31	1.04	1	31	0	62.3	8.11	19.4	7.75	35.9	0.175	1.5
ПИД	1.33	1.05	1	32.6	0	50.3	6.33	14.3	6.6	29.7	0.21	1.5

Декремент затухания и частоту колебаний определяем по формулам

æ

Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод, что каждая САР обладает своим рядом преимуществ и недостатков. САР с П-регулятором имеет наименьшее отклонение по амплитуде, но обладает статической ошибкой. У САР с ПИ-регулятором нет статической ошибки, но она имеет наибольшее время регулирования. САР с ПИД-регулятором наиболее быстродействующая, но она также обладает и наибольшим перерегулированием.

2.2 Оценка качества САР по каналу возмущающего воздействия

Для оценки качества САР по каналу возмущающего воздействия преобразуем структурную схему САР (рисунок 8).

Рисунок 8 – Структурная схема преобразованной САР

Определим передаточную функцию САР по возмущающему каналу:

Script 10:

>> Fiz1=feedback(Wop,Wap1)

Transfer function:

0.9 s^2 + 7 s + 2.2

-------------------------------------

336 s^3 + 148.4 s^2 + 39.64 s + 6.859

>> Fiz2=feedback(Wop,Wap2)

Transfer function:

0.9 s^3 + 7 s^2 + 2.2 s

--------------------------------------------------

336 s^4 + 147.1 s^3 + 29.56 s^2 + 4.348 s + 0.2156

>> Fiz3=feedback(Wop,Wap3)

Transfer function:

0.9 s^3 + 7 s^2 + 2.2 s

-----------------------------------------------

337.8 s^4 + 162.1 s^3 + 40 s^2 + 6.77 s + 0.396

Рисунок 8 – Переходные характеристики САР по каналу возмущающего воздействия

Таблица 2 – Показатели качества САР по каналу возмущающего воздействия

Регуляторы	ymax1	ymax2	yуст	σ	ε	tp	tn	tmax	æ	T	ω	n
П	0.429	0.336	0.321	33.6	0.321	41.7	5.23	12.3	0.86	24.6	0.26	1.5
ПИ	0.598	0.061	0	¥	0	73.5	0	14.3	0.898	37.7	0.167	2
ПИД	0.39	0.04	0	¥	0	49	0	14	0.897	30	0.21	1.5

Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод, что по каналу возмущающего воздействия САР с П-регулятором имеет наименьшее отклонение по амплитуде, но обладает статической ошибкой. У САР с ПИ-регулятором нет статической ошибки, но она имеет наибольшее время регулирования. САР с ПИД-регулятором наиболее быстродействующая.

2.3 Оценка запаса устойчивости САР

Для оценки запаса устойчивости применим логарифмический критерий. При проектировании САР рекомендуемый запас устойчивости по амплитуде ∆L>6 Дб, по фазе ∆φ>30⁰.

Script 11:

>> [Gm1,Pm1]=margin(W1);

>> [Gm2,Pm2]=margin(W2);

>> [Gm3,Pm3]=margin(W3);

>> [20*log10(Gm1),Pm1]

ans =

Inf 41.6235

>> [20*log10(Gm2),Pm2]

ans =

Inf 36.7183

>> [20*log10(Gm3),Pm3]

ans =

Inf 36.0532

Таблица 3 – Запас устойчивости САР

Регуляторы	∆L	∆φ
П	¥	41.6
ПИ	¥	36.7
ПИД	¥	36.1

Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод, что необходимым запасом устойчивости и по амплитуде, и по фазе обладают все САР.

3 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР

3.1 Анализ САР с П-регулятором

3.1.1 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»

Основная передаточная функция САР с П-регулятором была получена в п. 1.3. Она имеет вид:

,

где

,

Порядок характеристического полинома

. Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

где

Script 12:

>> b2=2.397;b1=18.64;b0=5.859;

>> a3=336;a2=148.4;a1=39.64;a0=6.859;

>> A1=[0 1 0;0 0 1;-a0/a3 -a1/a3 -a2/a3];

>> B1=[0;0;1];

>> C1=[b0/a3 b1/a3 b2/a3];

>> D1=0;

>> sys1=ss(A1,B1,C1,D1)

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -0.02041 -0.118 -0.4417

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 0.01744 0.05548 0.007134

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

>> step(sys1);grid

Рисунок 9 – Переходная характеристика САР с П-регулятором

При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 4 и 9), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с П-регулятором рассчитана, верно.

3.1.2 Структурная схема САР с П-регулятором

Рисунок 10 – Структурная схема САР с П-регулятором

Рисунок 11 – Схема s-модели САР с П-регулятором

Рисунок 12 – Переходная характеристика САР с П-регулятором

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с П-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена верно.

3.1.3 Оценка управляемости САР с П-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:

Script 13:

>> Y1=[B1 A1*B1 A1^2*B1]

Y1 =

0 0 1.0000

0 1.0000 -0.4417

1.0000 -0.4417 0.0771

>> rY1=rank(Y1)

rY1 =

3

>> dY1=det(Y1)

dY1 =

-1

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

3.1.4 Оценка наблюдаемости САР с П-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

Script 14:

>> H1=[C1; C1*A1; C1*A1^2]

H1 =

0.0174 0.0555 0.0071

-0.0001 0.0166 0.0523

-0.0011 -0.0063 -0.0065

>> rH1=rank(H1)

rH1 =3

>> dH1=det(H1)

dH1 =

8.5991e-007

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

3.2 Анализ САР с ПИ-регулятором

3.2.1 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»

Основная передаточная функция САР с ПИ-регулятором была получена в п. 1.4. Она имеет вид:

,

где

,

.

Порядок характеристического полинома

. Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

где

Script 15:

>> b3=1.089;b2=8.558;b1=3.348;b0=0.2156;