а) схемное обозначение; б) макромодель; в) схема замещения макромодели Рисунок 2.12 - Макромодель нелинейной ёмкости
В PSpice аналогичным образом моделируют нелинейные резисторы и катушки индуктивности.
Рассмотренные нелинейные модели системы PSpice имеют следующие недостатки:
- сложны по структуре;
- содержат до двух режимно-зависимых элементов, для идентификации которых использовать математические уравнения, формируемые по экспериментальным данным;
- 3) развитие таких моделей с целью повышения точности связано с резким повышением трудоемкости расчетных операций и увеличения числа узлов эквивалентной схемы и порядка аппроксимирующих уравнений.
2.4.2 Факторные модели ДП
В этом случае ДП представляют в виде "черного ящика" (рисунок 2.13), электрические параметры которого определяет система уравнений. Каждое из уравнений, выбранной системы, выражает зависимость выходного электрического от соответствующего фактора. В качестве выходного параметра, как правило, выбирают полную проводимость. Тогда уравнение можно записать в виде
Y = (X), (2.38)
где Y- полная проводимость ДП;
Х= [Xl,X2,...,Xi,...,Xn]-вектор факторов;.
п - количество факторов.
Факторами могут служить частота f, напряжение U или ток I смещения рабочей точки, температура Т окружающей среды и т .п.
Из анализа факторной модели ДП представленной формулой (2.38) следует:
- ее рациональность - при включения в электрическую схему добавляют всего один всего один узел;
- возможность определять работоспособность ДК по выходным параметрам в процессе их экспериментального определения.
Таким образом, в практической электронике, связанной с проектированием РЭС, преимущества факторной модели очевидны. С другой стороны, по параметрам факторной модели всегда можно определить компонентную модель.
2.5 Модели МП
2.5.1 Традиционные способы описания параметров МП
Описание моделей, как правило, производят с помощью эквивалентных схем - компонентная модель, с помощь матрицы - формальная модель.
Компонентную модель формируют на основе линейных и нелинейных ДП. Такие модели целесообразны для описания активных элементов, например транзисторов, когда применяемые в модели ДП имеют чисто физический смысл.
Формальная модель представляет собой матрицу коэффициентов, которая определяет связь между входными и выходными параметрами МП: токами и напряжениями или падающими и отраженными волнами. Для моделирования МП применяют матрицы Y проводимости, Z сопротивления, А передачи, Н гибридную, S волновую матрицу рассеяния, Т волновую матрицу передачи. Для всех входных и выходных параметров используют следующие матричные уравнения:
I = Y U ; U = Z 1; hi - A d2: hi = Н h2; b = S a: a = Т b, (2.39)
где I = [ Il,...,Ii,...,In ] - вектор столбец токов:
U= [ Ul,...,Ui,...,Un ] - вектор столбец напряжений;
hl= [ U 1,12] - вектор столбец входных параметров;
h2= [ 11 ,U2] - вектор столбец входных параметров;
dl= fUl,Il] - вектор столбец входных параметров;
d2= [ЧЛД1] - вектор столбец входных параметров;
а = [ al,... ,ai,... ,ап]- вектор столбец падающих волн;
b = [ ] - вектор столбец отраженных волн.
i - текущий индекс параметра;
п - размер матрицы.
Все матрицы можно пересчитать из одной в другую при одинаковых их размерах. На практике наиболее часто при анализе МП применяют Y-, Z- , S- иТ-матрицы, а при анализе четырехполюсников, кроме перечисленных, гибридные. А- и Н-матрицы.
Рассмотрим свойства этих матриц. Линейные динамические параметры многополюсника выражают связь токов и напряжений, которые вырабатываются на его входах-полюсах при подключении их к внешним электрическим цепям. Рассмотрим многополюсник (рисунок 2.13) с числом полюсов п, в котором определены токи Ij и напряжение Uj для каждого i-ro входа. Напряжения Uj приложены между зажимами 1-го входа, один из которых представляет общую для входов-полюсов шину. Все токи Ij направлены к многополюснику, а напряжения Us - от активного зажима к общей нулевой шине.
Пусть совокупность полюсных токов представляет вектор столбец I полюсных токов, а совокупность полюсных напряжений - вектор столбец U полюсных напряжений
I=Pr..,L,...In]T, (2.40)
U=[U1,...,Ui,...Un]T. (2.41)
Если считать Uj значения элементов вектора U заданными, значения Ij элементов вектора I искомыми, то Ii можно рассматривать как линейную комбинацию UbU2,-, Un, т.е.
Тогда компоненты вектора I могут быть выражены в виде системы уравнений
I = YU, (2.45)
где Y - матрица проводимостей.
F
Если теперь считать Ij заданными величинами, а Ц искомыми, то по тем же соображениям U; значение вектора U можно рассматривать как линейную комбинацию 1ЬI2,...,In, т.е.
Из уравнения (2.46) после несложных рассуждений приходим к матричному уравнению, связывающему компоненты векторов U и I в виде:
U = Z-I, (2.47)
где Z - матрица сопротивлений по форме аналогичная матрице Y.
В САПР электронных схем матрицы Y радиокомпонентов или отдельных схем имеют исключительное значение, так как содержат информацию для расчета электрических схем общепринятым методом узловых потенциалов.
Матрицы Z используются для расчета цепей методом контурных токов. Они находят меньшее применение. Матрицы Y и Z связаны друг с другом уравнением
Y - Z"1, (2.48)
где -1 - знак обращения матрицы..
Y и Z - матрицы РК могут быть определены по параметрам эквивалентных схем или путем непосредственного их измерения.
Прямой метод определения Y - матриц производят путем измерения их коэффициентов при реализации опытов короткого замыкания полюсов. Для этого, например, к полюсу i прикладывают напряжение Ц, а остальные полюсы замыкают попарно с общей шиной. Поэтому все напряжения Uj при ji будут равны нулю, а система уравнений (2.46) трансформируется к виду:
Из системы уравнений (2.49) вытекает, что диагональный элемент уц будет определен в виде
Из уравнения (2.50) также следует, что диагональные у и коэффициенты матрицы Y представляют собой входную проводимость многополюсника со стороны полюса i при коротком замыкании остальных полюсов (рисунок 2.14). Таким образом, коэффициент ун может быть определен с помощью измерителя полных проводимостей без каких-либо существенных трудностей.
Из формулы (2.51) также видно, что для определения недиагонального коэффициента Y - матрицы необходимо измерить модуль и фазу переменного тока очередного полюса], который коротко замкнут. Высокочастотные измерители модуля и фазы переменного тока промышленностью не выпускаются. Идентификация таких токов с помощью активных сопротивлений путем измерения модуля и разности фаз переменного напряжения, выделяющегося на этом сопротивлении, не позволяет полностью реализовать опыт короткого замыкания и тем самым приводит к нарушению условий эксперимента.
С другой стороны, в ряде случаев опыты короткого замыкания на выходах реальных многополюсных компонентов могут также привести к искажениям, например, из-за того, что при коротком замыкании выходного полюса режим измеряемого РК принудительно нарушается или вообще не допустим.
Попытка получить более удовлетворительные результаты путем реализации процесса измерения элементов Z-матриц при опытах холостого хода с последующим расчетом Y-матриц по формуле (2.48) нереальна, т.к. в этом случае при измерении на высоких частотах будет существенно проявляться шунтирующее действие входных цепей измерительного прибора, а также в некоторых случаях - цепей электропитания по постоянному току.
В режиме холостого хода многополюсник на рисунке 2.14 преобразуется в многополюсник, показанный на рисунке 2.15.
В режиме холостого хода все токи Ij при j=i, будут равны нулю, а развернутая система уравнений (2.49) трансформируется к виду
u.i-z..l,
1 hi
и. =z..i..
i и i
(2-52)
u. = z..i.
j ji i
U = z L.
nmi
Из системы уравнений (2.52) непосредственно получаем формулы для расчета диагональных элементов Z - матрицы
Из формул (2.53) и (2.54) видно, что диагональные zhкоэффициенты Z - матрицы представляют собой входное сопротивление многополюсника со стороны полюса i при холостом ходе остальных полюсов (рисунок 2.15). Этот коэффициент может быть определен с помощью измерителя полных сопротивлений. Однако определение недиагональных Zjj коэффициентов на высоких частотах проблематично,во-первых, из-за сложности определения тока I;, во-вторых, из-за неизбежного искажения информации при измерении напряжений Ц при ji, которое возникает из-за шунтирующего действия входной цепи измерительного прибора.
Кроме того, в реальных устройствах режим холостого хода, во-первых, не используется и, во-вторых, может быть не реализуемым, например, из-за возникновения самовозбуждения измеряемого многополюсника (для активных многополюсников).
Рассмотрим определение матриц рассеяния. Физической основой S-параметров являются энергетические отношения между многополюсником и устройствами, подключенными к его входам-полюсам [2, 4]. S-параметры многополюсника позволяют определить обмен энергией между многополюсником, источниками энергии и нагрузками, подключенными к его входам. Аналитическое описание процессов производится посредством векторов падающих а волн, направленных к многополюснику, и отраженных b волн, направленных от него (рисунок 2.16). Волны а и b нормированы таким образом, чтобы выполнялся принцип инвариантности мощности. Поэтому размерность каждой из составляющих векторов а и b выражается в виде корня квадратного уравнения из мощности - (Вт)'/2 . Связь между векторами а и b определяется матрицей рассеяния S, причем матричное уравнение имеет вид
b= Sa. (2.55)
Для линейных активных и пассивных многополюсников существует однозначная аналитическая связь между S-матрицей и матрицами проводимости Y, сопротивления Z и гибридными матрицами. Элементы матриц Y,Z,H, рассчитанные через S-матрицу должны быть при этом также нормированы. В важном для практики случае нормированная Y — матрица связывает вектор нормированных токов I с вектором нормированных напряжений UH.