Информационный процесс в автоматизированных системах (стр. 8 из 12)
а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:
б) это же число в двухбайтовом формате:
в) число 65535 в двухбайтовом формате:
Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” - единицей.
Диапазоны значений целых чисел со знаком
| Формат числа в байтах | Диапазон | |
| Запись с порядком | Обычная запись | |
| 1 | –27...27–1 | –128...127 |
| 2 | –215...215–1 | –32768...32767 |
| 4 | –231...231–1 | –2147483648...2147483647 |
Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.
В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код (ПК), обратный код (ОК), дополнительный код (ДК).
Общая идея построения кодов такова. Код трактуется как число без знака, а диапазон представляемых кодами чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них представляет положительные числа, другой - отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально просто.
Наиболее распространенным и удобным является формирование кодов таким образом, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел, т.е. использование такого кодирования позволяет говорить о старшем разряде как о знаковом (бит знака) и об остальных как о цифровых разрядах кода.
Обратный и дополнительный коды применяются широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства (АЛУ) компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
| Например: | Число 110=12 | Число 12710=11111112 |
 |  |
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины.
| Например: | Прямой код числа - 1 | Прямой код числа - 127 |
 |  |
Сложение в прямом коде чисел, имеющих одинаковые знаки: числа складываются, и сумме присваивается знак слагаемых. Более сложным является алгебраическое сложение в прямом коде чисел с разными знаками. В этом случае приходится определять большее по модулю число, производить вычитание модулей и присваивать разности знак большего по модулю числа. Такую операцию проще выполнять, используя обратный и дополнительный коды.
2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, единицы - нулями.
Например:
Число - 1Код модуля числа: 0 0000001Обратный код числа: 1 1111110  | Число - 127Код модуля числа: 0 1111111Обратный код числа: 1 0000000  |
В общем случае ОК является дополнением модуля исходного числа до наибольшего числа без знака, помещенного в разрядную сетку. Алгоритм формирования ОК очень прост, при этом ОК позволяет унифицировать операции сложения и вычитания в АЛУ, которые в прямом коде выполняются по-разному. Однако работа с ОК вызывает ряд трудностей. В частности, возникают два нуля: +0 и - 0, т.е. в прямом коде (в котором представлены положительные числа) имеет место (+0) = 000...0, а в обратном коде (в котором представлены отрицательные числа): (-0) = 111...1.
Кроме того, в операциях сложения и вычитания требуется дополнительная операция по прибавлению бита переноса в младший разряд суммы. Рассмотрим правила алгебраического сложения в ОК (поскольку А-В=А+(-В)). Алгоритм сложения в ОК включает в себя:
сложение кодов, включая знаковый разряд;
прибавление переноса к младшему значащему разряду (МЗР) суммы.
Пример: Вычислить выражение: - 310 - 210.
Бит знака в ОК равен 1, следовательно, получаем отрицательное число: - 510.
Пример: Вычислить 710 - 310.
Бит знака равен нулю, следовательно, получаем положительное число в ПК: 410.
Указанные трудности привели к тому, что в современных ЭВМ абсолютное большинство операций выполняется в дополнительном коде.
3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.
Например:
| Дополнительный код числа - 1 | Дополнительный код числа - 127 |
 |  |
Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
Сложение и вычитание в дополнительном коде
При выполнении арифметических операций в современных ЭВМ используется представление положительных чисел в прямом коде, а отрицательных - в обратном или в дополнительном кодах. Это можно проиллюстрировать схемой на следующем рисунке:
На рисунке а) представление положительных чисел, б) – отрицательных.
Общее правило. При алгебраическом сложении двух двоичных чисел, представленных обратным (или дополнительным) кодом, производится арифметическое суммирование этих кодов, включая разряды знаков. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса прибавляется к МЗР суммы кодов при использовании ОК и отбрасывается при использовании ДК. В результате получается алгебраическая сумма в обратном (или дополнительном) коде.
Рассмотрим подробнее алгебраическое сложение для случая представления отрицательных чисел в ДК.
При алгебраическом сложении чисел со знаком, результатом также является число со знаком. Суммирование происходит по всем разрядам, включая знаковые, которые при этом рассматриваются как старшие. При возникновении переноса из старшего разряда единица переноса отбрасывается и возможны два варианта результата:
знаковый разряд равен нулю: результат - положительное число в ПК;
знаковый разряд равен единице: результат - отрицательное число в ДК.
Для определения абсолютного значения результата, его необходимо инвертировать, затем прибавить единицу.
Пример: Вычислить алгебраическую сумму 58 - 23.
Перенос из знакового разряда отбрасываем. Число является положительным в ПК: 3510.
Признак переполнения разрядной сетки
При алгебраическом суммировании двух чисел, помещающихся в разрядную сетку, может возникнуть переполнение, то есть образуется сумма, требующая для своего представления на один двоичный разряд больше, чем разрядная сетка слагаемых. Предполагается, что положительные числа представляются в прямом коде, а отрицательные - в дополнительном.
Признаком переполнения является наличие переноса в знаковый разряд суммы при отсутствии переноса из знакового разряда (положительное переполнение) или наличие переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в знаковый разряд (отрицательное переполнение).
При положительном переполнении результат операции положительный, а при отрицательном переполнении - отрицательный. Если и в знаковый, и из знакового разряда суммы есть переносы или этих переносов нет, то переполнение отсутствует.
Эти коды отличаются от прямого, обратного и дополнительного кодов тем, что на изображение знака отводится два разряда: если число положительное - 00, если число отрицательное - 11. Такие коды оказались удобны (с точки зрения построения АЛУ) для выявления переполнения разрядной сетки. Если знаковые разряды результата принимают значение 00 и 11, то переполнения разрядной сетки не было, а если 01 или 10 - то было переполнение.
Пример:
Все арифметические операции с двоичными числами могут быть сведены к двум операциям - операциям суммирования двоичных чисел в прямом или дополнительном кодах, а также операциям сдвига двоичного числа вправо или влево. Реальные алгоритмы выполнения операций умножения и деления в современных ЭВМ достаточно громоздки и здесь не рассматриваются.