Интегральные преобразования. Радиоуправление (стр. 1 из 3)
Вопрос 1.
1. Основные понятия
1. Сигнал любой формы можно разложить на синусоидальные составляющие с различными частотами, кратными целому числу. Совокупность этих составляющих называется спектром, а сумма этих составляющих формирует значение функции во временной области.
2. Разложение в ряд Фурье – это разложение периодической функции на синусоидальные составляющие с различными частотами. Периодический сигнал s(t) с периодом Т и основной угловой частотой
( 
) при помощи коэффициентов Фурье можно представить в виде: 
Где
и 
действительные коэффициенты Фурье функции f(t), которые определяются следующим образом: 
(k=0,1,2….) 
(k=0,1,2….)Если функция s(t) – четная, то
, если нечетная. То 
3. В отличии от разложения в ряд Фурье с действительными коэффициентами при разложении в ряд Фурье с комплексными коэффициентами вычисления значительно упрощаются. Разложение в комплексный ряд Фурье периодического сигнала s(t) с основной угловой частотой
( ) имеет вид: 
(1)Комплексные коэфффициенты Фурье Сkсигнала s(t) вычисляются следующим образом:
(k=0,1,2….) (2)Подставив 1.2 в 1.1 , получим:
0<t<T(3)4. Если увеличивать количество гармоник, то точность приближения функции рядом Фурье повышается.
5. Под непрерывными кусочно-гладкими сигналами будем понимать сигнал, функция которого непрерывна в точке, причем возможно допустить устранимые разрывы первого рода. Область определения функции задается в каждом интервале, но она непрерывна (Пример: Фазоманипулированный сигнал).
Рис. 1. Разложение сигнала
2. Интегральное преобразование Фурье
Дискретное представление сигналов удобно для решения задач обработки сигналов, так как каждый сигнал может быть представлен конечным числом компонентов.
Однако в теоретических исследованиях, особенно при рассмотрении сигналов на бесконечном интервале, с отличной от периодическогозакона распределения, такое представление либо недостаточно, либо не возможно.
Но гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. При этом число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет бесконечно большим, так как при
основная частота функции 
. Т.о расстояние между спектральными линиями (Рис 2) равное основной частоте 
становиться бесконечно малы, а спектр – сплошным. 
Рис 2.
Поэтому в выражении (1.3) можно заменить
на 
, 
на текущую частоту 
а операцию суммирования заменить интегрированием: 
(4)Внутренний интеграл является функцией
(5)называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой. В общем случае, когда t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:
(6)Выражение (6) называют прямое преобразование Фурье
Подставляя (6) в (4) получаем
(7)Выражение (7) называют обратным преобразование Фурье.
3. Интегральное преобразование Лапласа
Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию
комплексного переменного (изображение) с функцией 
действительного переменного (оригинал). 
(8) 
(9)Данный спектральный метод, как и преобразование Фурье основан на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых изменяется во времени по закону
Вместо комплексных экспоненциальные сигналов с чисо мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные показатели
, где p – комплексное число 
, получившее название комплексной частоты.Изображения по Лапласу во всех точках комплексной плоскости являются аналитическими функциями. На практике применяют таблицы соответствия между оригиналами и изображениями.
3 Интегральное преобразование Гильберта
Часто радиоинженер сталкивается с радиосигналами, получаемые в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты(или фазы) по очень сложному закону.
Предполагая, что заданный сигнал
представляет собой узкополосный процесс, спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с центральной частотой частотой. 
(10)При этом возникает неоднозначность из-за того что,
и 
изменяются по различным законам.Неоднозначности можно избежать, при представлении
и с помощью следующих соотношений: 
и 
, (11)где
новая функция, связанная с исходной соотношениями 
(12)Эти соотношения называют преобразованиями Гильберта, а функция
-функция сопряженная (по Гильберту) исходной функции В точках, в которых
=0, кривые и имеют общие касательные при этом в точках, где обращается в 0, функция должна принимать значения, близкие к амплитудным, тогда можно рассматривать как простейшую огибающую функции .Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ систем обработки сигналов.