Дисциплины обслуживания вызовов. Простейшая модель обслуживания (стр. 2 из 2)
Если это условие нарушается, то система не будет работать стабильно.
Модели потока требований
Поступающие на вход системы массового обслуживания требования (заявки, запросы) образуют поток дискретных событий, полностью определяемый множеством моментов времени их поступления
. Для детерминированного потока значения tn задаются таблицей или формулой. На практике этот поток случайный и значения моментов поступления запросов есть значения случайной величины, задаваемой функциями распределения вероятности tn либо интервала между поступлениями Dt : 
.В зависимости от вида функции распределения вероятности потоки требований наделяют соответствующими названиями. В общем случае случайные потоки можно классифицировать по наличию или отсутствию трех основных свойств: стационарности, последействия и ординарности.
Стационарность - независимость вероятностных характеристик от времени. Так вероятность поступления определенного числа требований в интервал времени длиной t для стационарных потоков не зависит от выбора начала его измерения.
Последействие - вероятность поступления требований в интервале (t1, t2) зависит от событий, произошедших до момента t1.
Ординарность - вероятность поступления двух и более требований за бесконечно малый интервал времени Δt есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем Δt.
К основным характеристикам случайных потоков относят ведущую функцию, параметр потока и интенсивность потока.
Ведущей функцией потока
называют математическое ожидание числа требований в промежутке времени (0,t).Параметр потока вместе с интенсивностью потока являются важнейшими характеристиками темпа поступления требований. Это плотность вероятности поступления требований в момент времени t и характеризуется тем, что вероятность поступления хотя бы одного требования в бесконечно малом промежутке времени пропорциональна с точностью до бесконечно малой более высокого порядка длине этого промежутка.
. Откуда: 
.
Для стационарного потока параметр потока постоянный и равен:
.Интенсивность потока учитывает возможную неординарность потока, т.е. одновременно поступающие требования и определяется как математическое ожидание числа вызовов в единицу времени в данный момент. Для ординарных потоков интенсивность потока и есть его параметр.
 |
Пуассоновский (простейший) поток запросов
Стационарный ординарный поток без последействия называют простейшим. Он задается набором вероятностей Pi(t) поступления i требований в промежутке длиной t.
Можно показать, что при этих предположениях формула для Pi(t) дается формулой Пуассона (Poisson):
.Проанализируем основные характеристики пуассоновского потока. Рассмотрим отношение Pi(t)/Pi-1(t). При i ≤ λt вероятность растет, а при обратном соотношении – убывает. Графики функции распределения Пуассона в зависимости от величины λt для различных значений k приведены на рис. 4.
Рис. 4 Графики Пуассоновского распределения в зависимости от lt для различных k.
Наряду с распределением Pi(t) используют вероятности поступления не менее i требований в интервал t или не более i требований за время t:
Если рассмотреть закон распределения вероятностей промежутка между поступлением соседних требований τ, то можно показать, что
.Дифференцируя, получаем плотность распределения вероятностей:
.Случайная величина с такой плотностью вероятностей называется экспоненциально - распределенной (с показательным распределением). Математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной величины равно
,а дисперсия и среднеквадратическое отклонение соответственно будут равны:
, 
.Определим математическое ожидание и дисперсию числа требований за промежуток t :
, 
.Одним из важных свойств пуассоновского потока является аддитивность.
Если образовать поток заявок как объединенный из нескольких пуассоновских потоков, то его суммарная интенсивность будет равна сумме интенсивностей каждого отдельного потока 
.
 |
При разъединении пуассоновского потока на несколько потоков так, что каждое требование исходного потока с вероятностью pi (Spi =1) поступает на i-тоенаправление, поток i направления будет также пуассоновским с интенсивностью lp i.
 |
Нестационарный пуассоновский поток
Это ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени существует конечный параметр потока λ(t). Пусть Pi(t0,τ) – вероятность поступления i-требований за интервал [t0,t0+τ], которая определяется формулой:
, где 
.Этот параметр имеет смысл среднего числа требований на промежутке [t0,t0+τ]. Средняя интенсивность определяется как:
.Выбором закона изменения λ(t) можно описать реальные потоки заявок на АТС (например, отразить наличие ЧНН).
Стационарный поток без последействия.
 |
Это неординарный (групповой) пуассоновский поток. События – моменты вызовов, представляют собой простейший пуассоновский поток с параметром λ. В каждый момент времени tiс вероятностью pl поступает группа из l ( l = 1,2,…r) одинаковых заявок. Величинаl– характеристика неординарности. Обозначим параметр al= λpl. Вероятность поступления k требований в промежутке времени длиной t :
.Суммирование в этой формуле производится по всем j, удовлетворяющим соотношению:
.Это означает, что любой неординарный пуассоновский поток можно представить как k независимых неординарных пуассоновских потоков с постоянной характеристикой неординарности l и соответствующими параметром al и интенсивностью lal. Параметр неординарного потока определяется как:
,а интенсивность такого потока :
.В качестве одного из примеров применения неординарного потока можно привести пуассоновский поток с неординарными заявками, т.е. использующим для своего обслуживания l серверов. В сотовой системе связи в том случае, когда происходит звонок с мобильного телефона на телефоны не расположенные в зоне обслуживания одной базовой станции или на телефоны городской сети, требование обслуживается одним сервером – голосовым каналом, а при осуществлении звонка на мобильный телефон, обслуживаемый одной и той же базовой станцией требуется сразу два сервера – голосовых канала. Следовательно, поток вызовов от мобильных телефонов может рассматриваться как неординарный с характеристикой неординарности равной двум.
Литература
1. Л.Н. Волков, М.С. Немировский, Ю.С. Шинаков. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики. Учебное пособие.-М.: Эко-трендз, 2005.
2. М.В. Гаранин, В.И. Журавлев, С.В. Кунегин. Системы и сети передачи информации. - М.: Радио и связь, 2001.
3. Н.В. Захарченко, П.Я. Нудельман, В.Г. Кононович. Основы передачи дискретных сообщений. –М.: Радио и связь, 1990.
4. Дж. Прокис. Цифровая связь. - М.: Радио и связь, 2000.
5. Скляр. Цифровая связь. - М.: Радио и связь, 2001.