Дискретные системы радиоавтоматики (стр. 1 из 2)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра РТС

РЕФЕРАТ

На тему:

"Дискретные системы радиоавтоматики"

МИНСК, 2008

Передаточные функции дискретных систем

Передаточная функция дискретной системы определяется как отношение z-изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:

; .

Передаточные функции дискретной системы при нулевом значении флюктуационной составляющей определяются выражениями

; (1)

. (2)

Если в системе используется фиксатор, то передаточная функция приведенной непрерывной части системы определяется выражением

,

где

─ передаточная функция последовательного соединения фиксатора и формирующего фильтра.

;

.

Умножение изображения по Лапласу на

соответствует задержке оригинала на величину Т. С учетом теоремы сдвига и обозначения

(3)

получим

(4)

─ определяется по таблицам z - изображений.

Разностные уравнения

Разностные уравнения определяют связь между дискретными значениями выходной и входной величин в тактовых точках.

Чтобы составить разностное уравнение, надо представить дискретную передаточную функцию в следующем виде:

. (5)

Если

─ значение выходной величины, а ─ входной в виде

z-изображения, то связь между ними определяется выражением

. (6)

Подставим (5) в (6):

(7)

Применим к левой и правой частям уравнения (7) теорему обращения. С учетом теоремы запаздывания оригинала можно записать

, (8)

где

;

.

Из уравнения (8) можно определить значения оригинала в тактовых точках:

. (9)

Уравнение (9) является разностным уравнением, определяющим связь между входной и выходной величинами в тактовых точках.

Операторный коэффициент передачи дискретной системы

Для составления операторного коэффициента передачи вводится оператор запаздывания – с.

Действие его на временную функцию приводит ее к сдвигу по времени на величину Т:

;

;

…………………………

.

При использовании оператора с разностное уравнение записывается в виде

,

где

.

Чтобы перейти от дискретной ПФ к операторному коэффициенту передачи, необходимо сделать замену:

.

Комплексный коэффициент передачи дискретной системы

Комплексный коэффициент передачи дискретной системы (частотную передаточную функцию) можно получить из передаточной функции дискретной системы путем замены

:

.

Комплексный коэффициент передачи дискретной системы определяется как отношение комплексных амплитуд управляемой величины Y(kT) и задающего воздействия в тактовых точках kT. По формированию значений выходного процесса в тактовых точках дискретная система эквивалентна непрерывной с комплексным коэффициентом передачи Hд(jw).

Комплексный коэффициент передачи является периодической функцией переменной

с периодом изменения, равным

.

Устойчивость дискретных систем

Устойчивость дискретной системы связана с расположением полюсов ее передаточной функции на комплексной плоскости. Если все полюса расположены в левой полуплоскости, система устойчива. Таким образом, заменив в передаточной функции H(z) z на esT и решив характеристическое уравнение, можно определить устойчивость.

При переходе от s-плоскости к z-плоскости левая полуплоскость плоскости s трансформируется в круг единичного радиуса. Поэтому дискретная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции H(z) расположены внутри окружности единичного радиуса, т.е. удовлетворяют условию

|zi| < 1, i = 1,2… n,

где zi ─ корни характеристического уравнения:

A(z) = an zn + an-1z n-1 + …+ a0 = 0.

Характеристическое уравнение составляется путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции:

.

Для определения устойчивости дискретных систем используют алгебраические и частотные критерии.

Алгебраический критерий состоит в проверке выполнения системы неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.

При n = 1:

.

При n = 2:

.

При n=3 указанная система неравенств принимает вид

Частотный критерий (критерий Найквиста): если годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до 2π/Т не охватывает точку c координатами (-1; j0), то система устойчива.

Проанализируем устойчивость системы, представленной структурной схемой (рис.1).

Рис.1. Структурная схема дискретной системы.

Передаточная функция от воздействия к ошибке

,

Характеристическое уравнение:

.

Учитывая общую форму записи характеристического уравнения

,

найдем коэффициенты

Условие устойчивости для систем с n = 1:

Таким образом, в дискретной системе накладываются ограничения на период дискретизации Т и на коэффициент усиления Kv.

Непрерывная система с одним интегратором не имеет таких ограничений.

Пусть

при t = 0, а на выходе интегратора имеется напряжение U, равное х(0); тогда при t = 0 получим:

– на входе интегратора;

– на выходе интегратора.

Соответственно

,

а через такт, при t = T:

График зависимости х(t) приведен на рис.2.

Рис.2. Графики изменения ошибки в переходном режиме.

Анализ детерминированных процессов в дискретных системах

Задачей анализа является определение динамической ошибки

или зависимости выходной величины от входной. Анализ может быть произведен с помощью z-преобразований.

Если имеем z-изображение

и необходимо определить оригинал по z-изображению выходной величины, то можно воспользоваться теоремой обращения: