Динамический синтез систем автоматического управления (стр. 6 из 9)

Построим вещественную частотную характеристику (ВЧХ) “вход – выход ДОС”. Для этого используем выражение (1.16).

Рисунок 1.20 ВЧХ вход – выход ДОС

Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики.

Оценим σ по формуле:

,

где

максимальное значение ВЧХ;

минимальное значение ВЧХ;

P(0)- значение ВЧХ при w=0.

Подставляем значения и находим:

.

t_p оценим по формуле:

С помощью трассировки определили w_n= 65,5c^-1.

Следовательно t_p>0.048c^-1.

ЛЧХ “вход- выход ДОС”

Для построения найдем L(w), используя выражение (1.15):

ЛФЧХ “вход- выход ДОС” построим по формуле

Подставляя ранее полученные выражения Q(w) и P(w) (1.16), получим

Рисунок 1.21 ЛАЧХ и ЛФЧХ вход- выход ДОС

Найдем нули и полюса замкнутой системы “вход- выход ДОС” и изобразим их на комплексной плоскости.

Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя – полюсами.

Найдем их с помощью пакета MathCad [приложение 1].

Таблица 1.6– Нули и полюса замкнутой системы «вход- выход ДОС»

нули	-26.316	-500
полюса	-610.77+159.74j	-610.77-159.74j	-234.44	-26.175,89-j25.657	-26.175+j25.657

Рисунок 1.22 Нули и полюса на комплексной плоскости

Вычислим корневые оценки прямых показателей качества [1.§ 8.6].

Степень устойчивости η – это расстояние от мнимой оси до наиболее близко расположенного к ней полюса.

Ближайшим к мнимой оси является вещественный полюс, значит η – апериодическая степень устойчивости.

.

Ближайшие к мнимой оси полюса называются доминирующими.

Доминирующие полюса дают составляющей переходного процесса затухание наиболее медленно. Поэтому по η можно получить оценку времени регулирования:

Колебательность

,

где β– мнимая часть, α– вещественная часть доминирующих комплексно-сопряженных полюсов.

Доминирующие комплексно-сопряженные полюса: -26.175±j25,657.

Удаленные от начала координат полюса увеличивают перерегулирование

Получаем

Определим влияние нулей на оценки прямых показателей качества.

Близко расположенные нуль и полюс взаимно компенсируются. Скомпенсированный нулем полюс не участвует в оценке прямых показателей качества.

,

где λ_i– вещественная часть полюса;

n_j- вещественная часть нуля.

В данной работе близко расположенные нули и полюса отсутствуют.

Оценка точности системы

Точность СУ оценивается в статическом режиме – в режиме, соответствующем окончанию переходного процесса (t→¥).

Анализ точности начинается с передаточной функции замкнутой системы по ошибке Ф_Е(s). [1, § 8.3]

Эту передаточную функцию разлагаем в ряд:

Где с_i – коэффициенты ошибки.

Найдем выражения для вычисления первых двух коэффициентов ошибки и занесем в табличку.

Таблица 1.7

С0	С1
выражение для ошибки	0
Значение ошибки	0	0.008

Рассчитаем установившуюся ошибку системы для заданных в ТЗ сигналов.

Тогда для входного сигнала

получаем установившуюся ошибку:

Для входного сигнала

с постоянной скоростью, где А=6В/с, установившаяся ошибка:

В

Установившуюся ошибку для гармонического сигнала вида

рассчитаем по следующей формуле:

, (1.19)

где

- заданная частота,

-модуль частотной передаточной функции по ошибке,

А₀=1В- амплитуда входного сигнала,

- аргумент частотной передаточной функции по ошибке.

.

Поскольку частота выходного сигнала (ошибки) совпадает с частотой входного сигнала, найдем N_Eи φ_Eна частоте

.

Определим частоту гармонического входного сигнала

, для которой амплитуда установившихся колебаний на выходе усилителя мощности равна 110В при амплитуде входного сигнала 1В.

определим по графику АЧХ “вход-выход УМ” (Рис. 1.19). Получаем, что w₀=11,215.

НайдемN_E частотной передаточной функции по ошибке. Выделим вещественные и мнимые части:

Модуль частотной передаточной функции по ошибке:

N(w₀)=0.1

Определим аргумент частотной передаточной функции по ошибке:

; .

Подставляя найденные значения в формулу (1.19) получим установившуюся ошибку при гармоническом входном сигнале:

2. Отработка типовых входных сигналов

2.1 Единичная ступенька

2.1.1 Переходная функция по выходу системы

Известно несколько способов расчета реакции системы на входные сигналы. В данной работе используем метод преобразований по Лапласу.

Запишем переходную функцию системы по выходу системы при входном воздействии X(t)=1(t)

– изображение по Лапласу входного единичного сигнала.